『中学生からの挑戦状Part15』解答

◆東京都　由釜与祢弥 さんからの解答。

【問題１】

5番目が、33550336

6番目が、8589869056

【問題２】

8番目で、
2305843008139952128

【問題３】

770桁で、

54162526284365847412654465374391316140856490539031\
69578460392081838720699415853485919899992105671992\
19190573900802636461592800138276054397462627889030\
57303445505827028395139475207769044924431494861729\
43511312628083790493046274068171796046586734872099\
25721905694655452996299198234310310926242444635477\
89635441481391719816441605586788092147886677321398\
75666162471455172696430221755428178425481731961195\
16598555535739377889234051462223245067159791937573\
72820860878214322052227584537552897476256179395176\
62442631448031344693508520365758479824753602117288\
04037830486028736212593137899949003366739415037472\
24966984028240806042108690077670395259231894666273\
61521277560353576470795225017385830517102860302123\
48966478513639499289049732921451075059799114562215\
19899345764984291328

私には分かりません。

偶数の完全数は、2^p-1 が素数のときの

2^p-1*(2^p-1)

に限られることが Euler によって証明されています。

奇数の完全数が存在するか否かは未解決問題です。

# 問題文中の"番目"はすべて偶数の完全数と考えていることになります。

◆山梨県　Footmark さんからの解答。

●(2^p−1)が素数なら、ｎ＝2^p-1(2^p−1)は完全数です。

[ 証明 ]

ｎ以外のｎの約数の和
＝(2⁰＋2¹＋2²＋‥＋2^p-1)＋(2^p−1)(2⁰＋2¹＋2²＋‥＋2^p-2)
＝(2^p−1)＋(2^p−1)(2^p-1−1)
＝2^p-1(2^p−1)
（『幾何学原論』第９巻でユ−クリッド(330?-275?B.C.)により証明済み。）

●偶数の完全数ｎはすべてユ−クリッド型で、必ず ｎ＝2^p-1(2^p−1) となります。
（オイラ−(1707-1783)により証明済み。）

以上の２点より、素数(2^p−1)を見つけると偶数の完全数を見つけたことになります。

素数M_ｐ＝2^p−１ はメルセンヌ数と言われ、現在も未知のメルセンヌ数の発見は続いています。

●メルセンヌ数(M_ｐ＝2^p−１) ならばｐは素数です。
（ただし、ｐが素数でもメルセンヌ数とは限らない。）

●現在までに確認されているメルセンヌ数(M_ｐ＝2^p−１)の素数ｐは以下の３８個です。

2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,
607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,
9689,9941,11213,11937,21701,23209,
44497,86243,110503,132049,216091,
756839,859433,1257787,1398269,2976221,
3021377,6972593

最初の４つはギリシャ時代ですが、１３番目以降はすべて電算機による２０世紀半ば以後の発見です。

【問題１】

５番目の完全数＝2¹²(2¹³−1)＝33550336
６番目の完全数＝2¹⁶(2¹⁷−1)＝8589869056

【問題２】

１京を初めて越える完全数
＝８番目の完全数
＝2³⁰(2³¹−1)
＝230京5843兆0081億3995万2128

【問題３】

１５番目の完全数＝2¹²⁷⁸(2¹²⁷⁹−1)

log₁₀{2¹²⁷⁸(2¹²⁷⁹−1)}
≒log₁₀2¹²⁷⁸＋log₁₀2¹²⁷⁹
＝(1278+1279)log₁₀2
≒2557x0.3010
＝769.657

よって求める桁数は770桁です。

【問題４】

有名な未解決問題です。
現在まで奇数の完全数は確認されていませんが、非存在の証明もされていません。

[ P・S ]

ｐが大きい未知のメルセンヌ数を確認するには電算機抜きではまず不可能です。
（と言っても、超高速電算機でさえ一定期間を必要とします。）
よって、この問題をすべて自力で解くのはまず無理でしょう。
解答も、現在までに判明していることを紹介したにすぎません。

◆群馬県の高校生　mri さんからのコメント。

39番目があるようです

http://www.utm.edu/research/primes/notes/13466917/index.html

2^p-1のp=13466917だそうです。

　『中学生からの挑戦状Part15』へ

　数学の部屋へもどる