◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
2-6-10-14-18-22-26
を残すようにすればよい。
したがって、花子さんの初手は「１」で必勝。
【問題２】
67-61-55-49-43-37-31-25-19-13-7-1
を残すようにすればよい。
したがって、花子さんは「１」、「７」を残す初手がないので、勝てない。
後手の太郎さんの必勝。
花子さん １ 太郎さん ２３４５６ 花子さん １２ 太郎さん ３４５６ 花子さん １２３ 太郎さん ４５６ 花子さん １２３４ 太郎さん ５６ 花子さん １２３４５ 太郎さん ６【問題３】
ｎ＝Ｘ，ｍ＝Ｙの「地獄のＸ」「天国のＸ」
i) Y≧1 のとき
「地獄のＸ」(X-Y-1) mod (Y+1)≠1 のとき 花子さんは必勝。
「天国のＸ」(X-Y) mod (Y+1)≠1 のとき 花子さんは必勝。
ii) Y=1 のとき
「地獄のＸ」X 偶数 のとき 花子さんは必勝。
「天国のＸ」X 奇数 のとき 花子さんは必勝。
ii)はi)に含まれます。
先手が有利なゲームですね。
確か「今週の問題」で出題されたのではないかと思います。
◆出題者のコメント。
正解です。
実際に２人で対戦するときは、相手に数（ｎとｍ）の設定をしてもらい、そのかわり自分が先手になるといえば、ほとんどはうまくいきます。
問題３ではｉのときだけで十分なのですが、ｉｉのときと分けて書いていただきありがたく思います。
実際のゲームだと、Ｙ＝１の設定はすぐにどっちが勝つか相手にもわかってしまうので、まずはしないほうがいいと思います。
それに自分で言える数が１つだけだと楽しさがなくなり、むなしさがこみあげてくるのではないのでしょうか。
それでも問題となれば考えなくてはいけませんが・・・
清川さんの答えでも十分なのですが、実際のゲームで先手を取ったらどのように頭で計算すればいいか、小学生の高学年を対象にわかりやすく説明してくださると幸いに思い ます。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題３】
ｎ＝Ｘ，ｍ＝Ｙの「地獄のＸ」「天国のＸ」
「地獄のＸ」 X mod (Y+1)≠1 のとき 花子さんは必勝。
「天国のＸ」 X+1 mod (Y+1)≠1 のとき 花子さんは必勝。
これで良かったのですね。
実際のゲームで先手を取ったらどのように頭で計算すればいいか。
●計算の仕方
【問題２の場合】
勝ちパターンか負けパターンの判定
３０÷（３+１）＝７...２
余りが２なので、勝ちパターンであることが判ります。
先手は「１」を言う。
後手が「２」なら「３４５」
「２３」なら「４５」
「２３４」なら「５」
のように相手の言った数の個数と自分の言う数の個数の和が４個になるように進めて行けばよい。
【問題３の場合】
勝ちパターンか負けパターンの判定
（７２+１）÷（５+１）＝７３÷６＝１２...１
余りが１なので、負けパターンであることが判ります。
先手は適当に「１２３」と言う。
後手が必勝法を知っていれば、６-３＝３（個）「４５６」と言い、負けてしまいます。
しかし後手の必勝法が不確かであれば、適当にゲームを進行させ、チャンスを待つ。
進行の途中で後手が間違えて、「５２ ５３」と言ったとする。
５３÷６＝８...５ ６-５＝１（個）
先手は「５４」と言い勝ちパターンに戻す。
５４÷６＝９...０
勝ちパターンに入れば、後手が「５５ ５６ ５７ ５８」と４個言えば、先手は必勝法を知っているので、
６-４＝２（個）の「５９ ６０」で、先手が勝つでしょう。
上手に説明出来なくてすみません。
◆出題者のコメント。
大変わかりやすくなったのではないかと思います。
計算の仕方について、清川さんの解答では「天国」を「地獄」のほうに合わせ、最後に余りから１を引いています。
この方法で「天国のｎ（＝X）」について計算すると（ｍ＝Yとします。）
（X+１）÷（Y+１）＝○、、、●（○＞●となります。）
となり、この式の余りから１を引いた個数（０の場合は負けパターンなので省きます。）を先手が言えば、あと勝ちパターン通り進めるだけです。
しかし、「地獄」を「天国」のほうに合わせると、計算の仕方がもう少しだけわかりやすくなるのではないでしょうか？
勝ちパターンや負けパターンにの進め方についてはその通りだと思います。
（というよりそのまんま使っています。）
割り算さえわかれば理解できますので、算数嫌いな子どもにはゲーム感覚でやさしく、算数好きな子どもには必勝法を使って自分で考えさせてみて、ちゃんとわかった
ならもっと算数が好きになると思います。
（密かに流行ってほしいなぁと思っています。）
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【一般解】
自分の手番で、数は Ｐ＋１ から告げなければならないものとします。
（初手でなければ、相手が Ｐ まで数を告げたのと同じです）
ｎ＝Ｘ、ｍ＝Ｙ の時の必勝法の一般解は以下の通りです。
●天国なら
(ＸーＱ) mod (Ｙ＋１)＝０ になる Ｑ まで数を告げることが可能なら必勝パターン。
その時は (ＸーＰ) mod (Ｙ＋１) 個の数を告げることになります。
ただし、自分の手番で既に、(ＸーＰ) mod (Ｙ＋１)＝０ なら不可能です。
●地獄なら
(ＸーＱ) mod (Ｙ＋１)＝１ になる Ｑ まで数を告げることが可能なら必勝パターン。
その時は (ＸーＰー１ ) mod (Ｙ＋１) 個の数を告げることになります。
ただし、自分の手番で既に、(ＸーＰ) mod (Ｙ＋１)＝１ なら不可能です。
ここで、Ｐ,Ｑは ０≦Ｐ＜Ｑ≦Ｐ＋Ｙ の整数。
分かりやすく簡単に言うと、
天国なら、残った数の個数がＹ＋１で割り切れるようにして相手に手番を渡すことがで
きれば必勝パターン。
地獄なら、残った数の個数がＹ＋１で割れば１余るようにして相手に手番を渡すことが できれば必勝パターン。
最後まで必勝法を採るのが不可能なら必敗パターン。
(相手が必勝法を採る)
途中で必勝法を採るのが可能になれば、その後は必勝パターン。
◆出題者のコメント。
Footmark さんへのコメントです。
その通りですね。
この解答はゲームの途中のとき、必勝パターンになっているか確認するときでも使えますね。
初めは、地獄の必勝パターンでなぜ１余るようにするのか考え込んでしまいました。
しかし、このように考えたら納得しました。
「地獄のＸ」は「天国の（Ｘ-１）」と同じである。
例えば「地獄の３０」なら２９を言えれば勝ち、
つまり「天国の２９」とおなじである、ということです。
だから天国の必勝パターンが、残った数の個数がＹ＋１で割り切れるようにして相手に手番を渡すことなら、地獄の必勝パターンは残った数の個数
がＹ＋１で割れば１余るようにして相手に手番を渡すことになるのです。
少し考えれば、難しいことではないと思います。
これで、少しは流行ってきた・・・・かな（？！）