◆神奈川県 数楽者 さんからの解答。
【問題１】（普通の証明らしく）
１）ＱＭをＭの方にＱＭと同じ長さだけ延長した点をＲとする。
２）三角形ＰＲＭと三角形ＰＱＭは二辺挟角で合同となる。
したがって、ＰＲ＝ＰＱ
３）三角形ＭＢＱと三角形ＭＡＲは二辺挟角で合同となる。
したがって、ＢＱ＝ＡＲ
４）
∠ＰＡＲ
＝∠ＰＡＭ＋∠ＭＡＲ
＝∠ＰＡＭ＋∠ＭＢＱ
＝直角
５）
ＣＰ2＋ＣＱ2
＝ＰＱ2 （直角三角形ＣＰＱで三平方の定理）
＝ＰＲ2 （２より）
＝ＡＰ2＋ＡＲ2 （直角三角形ＡＰＲで三平方の定理）
＝ＡＰ2＋ＢＱ2 （３より）
証明終わり。
【問題２】（図形の回転を使って）
１）三角形ＣＢＰをＣを中心にして時計周りに９０度回転させる。
ＢはＡに一致する。
Ｐの移動先をＲとする。
２）三角形ＡＱＲは直角三角形になる。
３）ＡＲ＝ＢＰ、ＱＲ＝ＰＱなので、三平方の定理から
ＰＱ2＝ＡＱ2＋ＢＰ2となる。
証明終わり。
◆追伸
問題１も回転を使って解けます。
問題１で、四角形ＰＡＲＭは同一円周上の点で、その円の大きさは初めの円と同じです。
◆中高生へのコメント
かなり舌足らずな証明ですが、詳細は皆さんで補って下さい。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
ＰＱは直径なので、∠ＰＭＱ＝９０°
線分ＰＭ，ＱＭで、この三角形を折ると、点Ａ，Ｂは１点Ｄで重なり、
∠ＰＤＱ＝９０°となります。
△ＰＤＱについて三平方の定理より、
ＤＰ2＋ＤＱ2＝ＡＰ2＋ＢＱ2＝ＰＱ2一方、△ＰＣＱについても同様に、
以上より、
ＣＰ2＋ＣＱ2＝ＡＰ2＋ＢＱ2（＝ＰＱ2）
【問題２】
線分ＰＣ，ＱＣで、この三角形を折ると、点Ａ，Ｂは１点Ｄで重なり、
∠ＰＤＱ＝９０°となります。
△ＰＤＱについて三平方の定理より、
ＤＰ2＋ＤＱ2＝ＢＰ2＋ＡＱ2＝ＰＱ2以上より
◆奈良県の中学校１年生 耶武 さんからの解答。
【問題２】
辺ＡＣの上に、Ｄを辺ＡＣで分けられる平面のうち点Ｂのない側に取るように、
∠ＣＡＤが45度になるように、
△ＰＢＣに合同な△ＡＣＤを作図する。←(1)
(1)より∠ＡＣＤ＝∠ＰＣＢなので、
∠ＡＣＱ＋∠ＡＣＤ
＝∠ＰＣＢ+∠ＡＣＱ
＝∠Ｒ―∠ＰＣＱ
＝９０度ー４５度
＝４５度。←(2)
△ＣＰＱと△ＣＱＤにおいて
ＣＱ＝ＣＱ（共通）
ＰＣ＝ＣＤ（(1)より）
∠ＱＣＤ＝４５度＝∠ＰＣＱ（(2)と仮定より）
∴△ＣＰＱ≡△ＣＱＤ（２辺夾角相等）
∴ＰＱ＝ＤＱ←(3)
(1)よりＢＰ＝ＡＤ←(4)
(1)より∠ＰＢＣ＝４５度＝∠ＣＡＤ。
仮定より∠ＱＡＣ＝４５度なので、
∠ＱＡＤ
＝∠ＱＡＣ+∠ＣＡＤ
＝４５度+４５度
＝９０度
∴ピタゴラスの定理より
ＡＱ2+ＡＤ2＝ＤＱ2。
(3)、(4)よりＡＱ2+ＢＰ2＝ＰＱ2。
補助線を引いてみました。