『面積は何分のいくつ？』

『面積は何分のいくつ？』解答

◆千葉県　Hiroshi Maki　さんからの解答。

　ベクトルを使って一般解を考えました。
文中の強調文字はベクトルを表します。

Figure ＡＢ＝ｂ，ＡＣ＝ｃとする。

ＡＩ：ＩＨ：ＨＥ＝ｊ：ｋ：ｍ（Ｊ＋Ｋ＋ｍ＝１），
ＢＧ：ＧＩ：ＩＦ＝ｐ：ｑ：ｒ（ｐ＋ｑ＋ｒ＝１）

として．．　　（ＧＥは補助線です）

ＡＩベクトルを2つの方法で表します。
　１．ＡＩ＝ｊＡＥ
　　　　　＝（ｊ／ｎ）ｂ＋ｊ（１−１／ｎ）ｃ
　２．ＡＩ＝ＡＦ＋ＦＩ
　　　　　＝（１／ｎ）ｃ＋ ｒ（ｂ−（１／ｎ）ｃ）
　　　　　＝ｒｂ＋（１／ｎ）（１−ｒ）ｃ

１，２のｂ、ｃ各ベクトルの成分は等しいから
　　ｊ／ｎ＝ｒ
　　ｊ（１−１／ｎ）＝（１／ｎ）（１−ｒ）

連立方程式を解いて、
　　ｊ＝ｎ／（ｎ２−ｎ＋１）
　　ｒ＝１／（ｎ２−ｎ＋１）

ｐ、ｑ、ｒの比は仮定だけど、見方を変えてやれば、ｊ、ｋ、ｍと同じになるので
　　ｐ：ｑ：ｒ＝ｊ：ｋ：ｍ

すなわち
　　ｍ＝ｒ＝１／（ｎ２−ｎ＋１）
　　ｋ＝１−ｊ−ｍ＝ｎ（ｎ−２）／（ｎ２−ｎ＋１）

これでｊ、ｋ、ｍ全て出そろったので、△ＩＧＨの面積を計算できる。
△ＡＢＣの面積を１として、順に小さい三角形を求める要領で．．

△ＩＧＨ＝（ｎ−１）／ｎ×（ｋ＋ｍ）×ｋ／（ｊ＋ｋ） ×ｋ／（ｋ＋ｍ）
　　　　　　　△ＡＢＥ　　　△ＩＢＥ　　　　△ＩＧＥ　　　　△ＩＧＨ

　　＝（ｎ−２）２／（ｎ２−ｎ＋１）　・・問２の解


【問題１】・・・　ｎ＝３を上式に代入して　△ＩＧＨ＝１／７
【問題２】・・・　（ｎ−２）２／（ｎ２−ｎ＋１）
【問題３】・・・　成立
【問題４】・・・　成立


　２０年ほど前の記憶を呼び覚ましつつ、悶々と考えました。
外積を使ってもっとスマートにできるのかな？

【コメント】

　なるほど、鮮やかな証明ですね。
中学校的なやり方よりも見通しがきくのが、いいですね。
私も久しぶりにベクトルを思い出しました。

◆大阪府の高校生　大森　剛さんからの解答。

＜問題１＞と＜問題３＞

△ＡＢＦ＋△ＡＣＥ＋△ＤＢＣ＝△ＡＢＣより
△ＩＧＨ＝△ＡＩＦ＋△ＣＥＨ＋△ＢＤＧ

　ベクトルＢＨ
＝ｔベクトルＢＡ＋（１−ｔ）ベクトルＢＥ
＝（１−ｓ）ベクトルＢＤ＋ｓベクトルＢＣ

ベクトルＢＥ＝２／３ベクトルＢＣ
ベクトルＢＤ＝１／３ベクトルＢＡ
よって ｔ＝１／７だから △ＨＥＣ＝１／７△ＡＥＣ
よって △ＨＥＣ＝１／２１△ＡＢＣ

同様に △ＧＤＢ＝△ＡＩＦ＝１／２１△ＡＢＣ

よって △ＩＧＨ＝△ＡＩＦ＋△ＣＥＨ＋△ＢＤＧ＝１／７△ＡＢＣ

これは＜問題３＞でもいけると思う。

＜問題２＞と＜問題４＞

△ＡＢＦ＋△ＤＢＣ＋△ＡＥＣ＝３／ｎ△ＡＢＣだから

　△ＩＧＨ
＝△ＡＢＣ−３／ｎ△ＡＢＣ＋△ＡＦＩ＋△ＤＢＧ＋△ＨＥＣ
＝（ｎ−３）／ｎ△ＡＢＣ＋３△ＨＥＣ

△ＨＥＣを上のように求めると
△ＨＥＣ＝１／（ｎ３−ｎ２＋ｎ）△ＡＢＣ

よって△ＩＧＨ＝（ｎ−３）／ｎ＋３／（ｎ３−ｎ２＋ｎ）

これは＜問題４＞でもいけると思う。

◆岐阜県の中学校３年生　もっち　さんからの解答。

【問題１】

答え　１／７

　まず，Ｅより，ＢＦに平行な直線を引きＡＣとの交点をＪとする。
そこでＡＦ：ＦＣ＝１：２　…　@
ＢＥ：ＥＣ＝２：１　→　ＦＪ：ＪＣ＝２：１　…　A

@，Aより　ＡＦ：ＦＪ＝３：４

よって△ＡＢＥ：△ＡＥＣ＝２：１ → △ＡＢＥ＝△ＡＢＣ×２／３

また，△ＡＢＩ：△ＩＢＥ＝３：４ → △ＡＢＩ＝△ＡＢＥ×３／７

Figure　
したがって△ＡＢＩ＝△ＡＢＣ×２／７

　 同様にして考えると
△ＡＢＩ＝△ＣＢＧ＝△ＡＨＣ＝△ＡＢＣ×２／７

よって　△ＩＧＨ＝（１−２／７×３）×△ＡＢＣ＝１／７×△ＡＢＣ

【コメント】

　今まで高校の知識を使った解答しかなかったのですが、補助線一本で解決したのがすばらしいです。
もちろん正解です。
面積比の問題に慣れているのでしょうが、解答が大変分かりやすく書いてありますね。
ぜひ、２問目も解いてください。

◆岐阜県の中学校３年生　もっち　さんからの解答。

【問題２】

問題２の答えが出ましたので送ります。

答え　 （ｎ−１）（ｎ−４）＋ｎ
――――――――――――
ｎ＋（ｎ−１）2

ＥよりＢＦに平行線を引き、ＡＣとの交点をＪとする。
ＡＦ：ＦＣ＝１：ｎ−１，ＦＪ：ＪＣ＝ｎ−１：１より、
ＡＦ：ＦＪ＝ｎ：（ｎ−１）2

よって、
△ＡＢＥ：△ＡＣＥ＝ｎ−１：１
　　　↓
△ＡＢＥ＝（ｎ−１）／ｎ×△ＡＢＣ

△ＡＢＩ：△ＩＢＥ＝ｎ：（ｎ−１）2
　　　↓
△ＡＢＩ＝ｎ／（ｎ＋（ｎ−１）2）×△ＡＢＥ

したがって、

△ＡＢＩ＝ ｎ−１
――――――――
ｎ＋（ｎ−１）2 		×△ＡＢＣ

同様にして考えると、

△ＡＢＩ＝△ＣＧＢ＝△ＡＨＣ
＝ ｎ−１
――――――――
ｎ＋（ｎ−１）2 		×△ＡＢＣ

よって

　△ＩＧＨ
＝（１− ｎ−１
――――――――
ｎ＋（ｎ−１）2 		×３）×△ＡＢＣ

＝ （ｎ−１）（ｎ−４）＋ｎ
――――――――――――
ｎ＋（ｎ−１）2 		×△ＡＢＣ

問題３，４も正三角形の性質を利用していないので、成り立つと思います。

問題１の答えを参考にして考えられたので、楽でした。
考え方次第で、僕たち中学生にも解けてしまうのは不思議ですね。
これからもこんな楽しい問題をお願いします。

【コメント】

　完璧な解答です。
確かに一般の三角形でも同様に証明できると思います。
ただ分子は（ｎ−１）（ｎ−４）＋ｎ＝ｎ2−４ｎ＋４

ですから（ｎ−２）2と直した方が美しいかもしれませんね。

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