『パスカルの三角形』

『パスカルの三角形』解答

◆京都府　大空風成さんからの解答。

【問題１】

青い数の最も下にある数を_nC_rとする。
_nC_n=1、_n-1C_r+_n-1C_r-
1=_nC_rを利用して、

_rC_r+_r+1C_r+_r+2C_r+・・・ +_nC_r
=_r+1C_r+1+_r+1C_r+_r+2C_r+・・・ +_nC_r
=_r+2C_r+1+_r+2C_r+・・・+_nC_r
=_r+3C_r+1+・・・+_nC_r
・・・
=_nC_r+1+_nC_r
=_n+1C_r+1

よって、

_rC_r+_r+1C_r+_r+2C_r+・・・ +_nC_r =_n+1C_r+1・・・(1)

_nC_r=_nC_n-rを利用して、

_rC₀+_r+1C₁+_r+2C₂+・・・ +_nC_n-r =_n+1C_n-r

よって、右の形でも成り立つ。

【問題２】

青い数の最も下にある数を_nC_rとする。(1)より、

n	_kC_r=_n+1C_r+1
∑
k=r

これを利用して、

_r+1C_r+1+	n-r+1	_kC₀+	n-r+1	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑		∑		∑
	k=1		k=1		k=2		k=r

=₀C₀+	n-r+1	_kC₀+	n-r+1	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑		∑		∑
	k=1		k=1		k=2		k=r

=	n-r+1	_kC₀+	n-r+1	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑		∑		∑
	k=0		k=1		k=2		k=r

=_n-r+2C₁+	n-r+1	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑		∑
	k=1		k=2		k=r

=	n-r+2	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑		∑
	k=1		k=2		k=r

=_n-r+3C₂+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑
	k=2		k=r

=	n-r+3	_kC₂+・・・+	n	_kC_r
	∑		∑
	k=2		k=r

・・・

=_n+1C_r+	n	_kC_r
	∑
	k=r

=	n+1	_kC_r
	∑
	k=r

=_n+2C_r+1

よって、

_r+1C_r+1+	n-r+1	_kC₀+	n-r+1	_kC₁+	n-r+2	_kC₂+・・・+	n	_kC_r	=_n+2C_r+1・・・(2)
	∑		∑		∑		∑
	k=1		k=1		k=2		k=r

【問題３】

赤い数の最も下にある数を_nC_rとすると、
2組の青い数の最も下にある数は、_n-1C_r-1、_n-1C_rとなる。
１組の赤い数の合計は、(2)より、_n+2C_r+1-2
2組の青い数の合計は、(2)より、_n+1C_r-1、_n+1C_r+1-1
その和は、

_n+1C_r-1+_n+1C_r+1-1 =_n+2C_r+1-2

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