『面積の等しい多角形』

『面積の等しい多角形』解答

◆大阪府の中学校２年生　今井　直毅さんからの解答。

【問題１】

　図のように、傾きの大きい方の平行四辺形を横に並べて、その辺と重なるところで分割する。

【問題２】

ＢをＡに変換するときに入れる分割の線と、ＢをＣに変換するときの線を同時に書いて分割すれば、それでＡからＣへ変換できる。

【問題３】

底辺の長さが同じである長方形と平行四辺形は等積図なので、この問題は与えられた長方形をある長方形に変換できるということになる。

図のように問題１の変換を２回使って、このような変換をすることができる。

長方形ＡＢＣＤ＝平行四辺形ＡＥＦＤ＝長方形ＡＥＧＨ

【問題４】

三角形の２辺の中点を結び、図のように変換できる。

【問題５】

任意の三角形
　（問題４より）→平行四辺形
　（問題１より）→長方形
　（問題３より）→一辺が１の長方形

【問題６】

任意の多角形はいくつかの三角形に分割できる。
その三角形に問題５の変換をおこない、できた長方形の長さが１の辺をつなげると、任意の多角形は一辺の長さが１の長方形に変換できるということになる。

ここで面積の等しい２つの多角形があると、それらは一辺が１の合同な長方形に変換できるので、

任意の多角形→一辺が１の長方形→面積の同じ多角形

と変換できる。

【コメント】

　とても中学校２年生とは思えないぐらい、本当にすばらしい証明だと思います。
このように少しずつわかっていることを積み重ねていくことによって、難しい定理が証明できるのも数学のすばらしいところですね。