『面積の等しい多角形』

『面積の等しい多角形』解答


◆大阪府の中学校2年生 今井 直毅さんからの解答。

【問題1】

 図のように、傾きの大きい方の平行四辺形を横に並べて、その辺と重なるところで分割する。

【問題2】

BをAに変換するときに入れる分割の線と、BをCに変換するときの線を同時に書いて分割すれば、それでAからCへ変換できる。

【問題3】

底辺の長さが同じである長方形と平行四辺形は等積図なので、この問題は与えられた長方形をある長方形に変換できるということになる。

図のように問題1の変換を2回使って、このような変換をすることができる。


長方形ABCD=平行四辺形AEFD=長方形AEGH

【問題4】

三角形の2辺の中点を結び、図のように変換できる。

【問題5】

任意の三角形
 (問題4より)→平行四辺形
 (問題1より)→長方形
 (問題3より)→一辺が1の長方形

【問題6】

任意の多角形はいくつかの三角形に分割できる。
その三角形に問題5の変換をおこない、できた長方形の長さが1の辺をつなげると、任意の多角形は一辺の長さが1の長方形に変換できるということになる。

ここで面積の等しい2つの多角形があると、それらは一辺が1の合同な長方形に変換できるので、

任意の多角形→一辺が1の長方形→面積の同じ多角形

と変換できる。


【コメント】

 とても中学校2年生とは思えないぐらい、本当にすばらしい証明だと思います。
このように少しずつわかっていることを積み重ねていくことによって、難しい定理が証明できるのも数学のすばらしいところですね。


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