である◆石川県 平田和弘 さんからの解答。
【問題１】
2辺をそれぞれx,y(y＞x)とする。
y＝x＋a とおいて
xy＝x(x＋a)＝(x＋a/2)2−(a/2)2・・・(A)
となるので、上記に三平方の定理を適用する。
要するに、x＋a/2 を斜辺とし、a/2を他の1辺とする直角三角形を考える。
このとき、直角三角形の外心は斜辺の中点にあることを利用する。
はじめ、二次方程式の解法穂の方法で考えていましたがうまくいきませんでした。
そこで、直角三角形の性質を利用してみました。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
＜作図方法＞
与えられた長方形をＡＢＣＤとし、
ａ＝ＡＢ、ｂ＝ＣＤ（ただしａ＞ｂ）とする
１．中心Ａ、半径ＡＤの円と、ＡＢの交点をＥとする
ＢＥ＝ａ−ｂとなる
２．長方形の外接円を描く（方法は省略）
である
３．中心Ｂ、半径ＢＥの円と、２．の円との交点をＦとする
△ＢＤＦは∠Ｆ＝９０°の直角三角形であり、
４．直線ＤＥを引く
∠ＡＤＥ＝４５° である
５．中心Ｄ、半径ＤＦの円と、４．の直線との交点をＧとする
６．点Ｇから、直線ＡＤ、直線ＤＣに下ろした垂線（方法は省略）の足をＨ、Ｉとすると、四角形ＤＨＧＩが求める正方形である。
対角線
なので、
よって正方形ＤＨＧＩの面積はａｂとなり、長方形ＡＢＣＤの面積と等しくなる。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
与えられた長方形をＡＢＣＤとします。
Ａを中心にしてＡＢの長さを半径とする円をコンパスで描くとＡＢ,ＡＤのどちらが長いかわかります。
もし両者が等しければ正方形そのものなので、ここではＡＢ＜ＡＤとして考えることにします。
Ａを中心にしてＡＢの長さを半径とする円とＡＤとの交点をＥとして、ＥＤを弦に含むような円Ｏを描きます。
あとはＡから円Ｏへ接線を引けばＡから接点までの長さが求める正方形の一辺の長さになります。
(方ベキの定理を考えればいいです。)
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題２】
まず、この作図の前提条件として、縦横比がある範囲内でないとうまく書けません。
もし、不適当な比率の場合は、以下のようにあらかじめ変形した長方形を書いておき、作図後、元の位置に線を引き直せば、元の長方形の分割が出来ます。
また、作図の結果、分割された図形が四角形や五角形のまま残っていますが、対角線で三角形に分割できるので、問題ないと思われます。
ここでは、縦横比において、上記の条件を満たすものについて考えます。
また、目的の正方形の１辺の長さｒは、問題１の方法ですでに得られているものとします。
長方形ＡＢＣＤ（ＡＢ＜ＢＣ）が与えられたとき、
辺ＡＤ上にＡＥ＝ＡＢとなる点Ｅを取り、ＥＤの中点をＦとします。
ＡＦを直径とする円と、Ａを中心とし半径ｒの円の長方形内での交点をＧとします。
直線ＦＧと辺ＢＣの交点をＨとします。
辺ＢＣ上にＢＩ＝ＡＢとなる点Ｉを取り、
ＦＨ上にＨＩ＝ＨＪとなる点Ｊを取ります。
点ＪからＦＨに垂直な直線とＢＣとの交点をＫとします。
ここで分割された四角形ＡＢＨＧ、五角形ＣＤＦＪＫ、三角形ＡＧＦ、三角形ＨＪＫを組み替えると以下のような正方形ＡＧＬＭが出来ます。
三角形ＨＪＫが裏返っていますが、これが許されないなら、ＨＫの中点とＪを結ぶ線で分割すれば、二等辺三角形が２つ出来ますので、裏返さずに組み替えることもできます。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題２の解答の補足】
点Ｅ，Ｆを求めたあと、ＥＤ，ＡＦを直径とする円を描けば、正方形の１辺の長さｒを別途求めなくても、点Ｇが定められます。
◆岩手県 utu さんからの解答。
(1) 辺の比が２倍未満のとき
(2) 辺の比が２倍以上のとき
目的の正方形を斜めにずらして網の目に切っていく。
【おまけ】
六角形でも作れます。
いったん長方形にしてから正方形
でも、よく見ると、黄色と水色、茶色と緑は、最終的にまたくっつくので、長方形を経由しないで、
