◆山梨県 Footmark さんからの解答。
どのような凸四角形ABCDも、４頂点の内の３つを頂点とする三角形は４つある。
その４つの各三角形において、中点連結の定理より以下が言える。
図の２本の青い線は共に、対角線ACと平行で長さはACの半分。
同様に、図の２本の赤い線は共に、対角線BDと平行で長さはBDの半分。
よって、どのような凸四角形ABCDにおいても、ABCD(１)は平行四辺形。
それ故、任意の正整数ｎに対して、ABCD(１)とABCD(２ｎ＋１)とは相似。
（辺比２n：１）
すると、ABCD(１)が正方形でなければ、何度同じ操作を繰り返しても永遠に正方形にはならない。
何故なら、１度正方形になると以後は永遠に正方形の筈である。
ABCD(１)が正方形となる条件は明らかに以下の２つ。
(１) 凸四角形ABCDの２本の対角線であるACとBDは、長さが等しい。
かつ
(２) 凸四角形ABCDの２本の対角線であるACとBDは、互いに直交する。
そこで、２本の対角線の交点をＯとすると、(２)の条件より
AB2＝AO2＋BO2
BC2＝BO2＋CO2
CD2＝CO2＋DO2
DA2＝DO2＋AO2
よって、
AB2＋CD2
＝BC2＋DA2
＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2
[ Ｐ・Ｓ ]
(１)の条件は証明には必要ないので、[正方形]でなく[ひし形]や[長方形]で十分だったですね。
何故なら、任意の正整数ｎに対して、以下が言えます。
ABCD(１)が[ひし形]なら、ABCD(２ｎー１)同士は相似の[ひし形]で、ABCD(２ｎ)同士は相似の[長方形]。
ABCD(１)が[長方形]なら、ABCD(２ｎー１)同士は相似の[長方形]で、ABCD(２ｎ)同士は相似の[ひし形]。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
正方形ABCD(N)の頂点の座標を（1,0）（0,1）（-1,0）（0,-1）として
四角形ABCD(N-1)の頂点の座標は
a,b＞0、１＜a+b＜３ を使い
Ａ（a,b）、Ｂ（-a,2-b）、Ｃ（a-2,b-2）、Ｄ（2-a,-b）
AC ⊥ BD すなわち対角線が直交する。
四角形ABCD(N-1)の対角線が直交するので
一般に頂点の座標は p,q,r＞0 を使い
（1,0）、（0,p）、（-q,0）、（0,-r）
四角形ABCD(N-2)の頂点の座標は a,bを使い
Ａ（a,b）、Ｂ（-a,2p-b）
Ｃ（a-2q,b-2p）= (-2+a,-2r+b)、Ｄ（2-a,-b）
これからq=1、r=p
すなわち四角形ABCD(N-1)はひし形で
四角形ABCD(N-2)の対角線は直交する。
こうして遡っていくと四角形ABCD(１)の対角線は直交する。
対角線が直交することと
AB2+CD2=BC2+DA2は同値。
対角線ADにB,Cから垂線を引いてピタゴラスの定理を使えば明らか。
（証明終）