『凸多角形など』解答


◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。

【問題1】

n角形で鈍角がちょうど3つであるとすると,
残りのn−3個は90°以下で,
それらの外角は90°以上

90(n−3)≦[n−3個の外角の和]<360 から
n<7 すなわち n≦6

また,実際に,次のように条件を満たす6角形が存在。

したがって,条件を満たす最も角数が大きいのは6角形

【問題2】

マンホールのふたが,円形である理由として,
「ふたが穴に落ちないため」という理由が一般的である。

たとえば,正方形だと,下のように斜めにすれば落ちてしまう。

「落ちない」というだけならば,次のような形にすれば落ちない。

マンホールとして適しているかというと,適しているとはとてもいえない。

また,マンホールのふたが,円形であるもう1つの理由の,
「運ぶときに,転がせるから運びやすい」ということを考えると,次の形になる。

【問題3】は問題の意味を掴めずにいます。

「次の石を置く場所を決めるときに、どのマスが空いているかを判断材料に使ってはいけない。」
という条件は,
例えば,「置こうとした場所に石がすでにあれば,・・・」というような置き方がダメということでしょうか?

「何らかの規則性に従って置いていくのだが、他人が見ていてもその規則性にはなかなか気づかない。」
と言う条件の,特に「なかなか」という部分が曖昧な気がしますが・・・。

また,「なんらかの規則」というのに,「乱数」や「ある種の数列」を使うのはOKでしょうか?
「乱数」の代わりに「ある本に現れる数字を順番に使う」なんて手もありますが・・・

「他人が見ていてもその規則性にはなかなか気づかない。」というのを見て,人間が考えた規則性では,人間に気付かれてしまうのではという方向に思考が進んでいってしまいました。

と,いうことで,【問題3】は,とりあえずパスです。


【コメント】

>マンホールとして適しているかというと,適しているとはとてもいえない。
で爆笑してしまいました。


◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。

【問題1】

n角形で考えると、内角の和は180(n−2)度です。

n個の角のうち鈍角でないn−3個の角の合計は
高々90(n−3)です。

すると、鈍角である3つの角の和は

 180(n−2)−90(n−3)
=90n−90(度)
となります。

この和は180×3=540(度)未満ですから

90n−90<540 より
90n<630
n<7
となり、最も角数の多いものは6角形となります。

【問題2】

●理由

マンホールの蓋が、穴に落ちないようにするため。

●円以外の例

蓋を鉛直に立てて転がしたとき、蓋の最も高い位置が一定になるような図形であれば良いので、例えば、図のように、正三角形の各頂点を中心とし、他の2点を通るような円弧(中心角60度)3つで出来る図形がそれに当たります。

他にも、正5角形、正7角形などでも作れます。

【問題3】

簡単に言えば、1〜81のカードをどのように並べるかということでしょうか?

例えば、「継子だて」を逆から置いていく、などはどうでしょう?
最後あたりでネタがばれてしまいそうですが。


◆東京都 千葉 英伸 さんからの解答。

【問題1】

答えは6角形。
実際、以下のように、正三角形の周りに底角15゚未満の鈍角二等辺三角形を3つくっつけると題意を満たす凸多角形ができる。

●7角形以上はないことの証明。

凸n角形の内角の和は(n−2)πなので、
3つの鈍角の和を引くと、
残りの(n−3)個の鋭角(最大で直角)の和は
(n−5)πより大きくなければならない。

(n−5)π<(n−3)π
――

よって、n<7が得られる。

【問題2】

誤って穴に落っことすことがないから。

例えば、正方形などの場合、辺を対角線の向きに斜めにすると、自分と同じ大きさの穴に落っこちてしまう。

ところが、円の場合、穴の幅は円の直径よりも大きくなければ落ちることはない。
つまり、円はどの向きにしても最大幅が同じということ。

この性質をもつ図形に、正三角形の各頂点を中心に、1辺の長さを半径とするような3つの弧で構成される図形がある。

これも、どの向きにしても最大幅はおなじ
(正三角形の1辺の長さ)。

正五角形や正七角形でも同様の図形が構成できる。
忘れちゃいましたけど、何とかっていう名前がついていたと思います。


【コメント】

有名な定幅図形で、ルーローの三角形とか五角形とかいいますよね。

【問題3】

以下のようにしたらどうでしょう。

n×nのマス目に0からn2−1まで番号を振ります。
nと互いに素な整数mをとって、k番目(1≦k≦n2 )の石を、

kmをn2で割った余り

の番号がついたマス目に置くようにします。

最初のマス目の番号の振り方を、真中から渦巻状に振っていくとかすると、ほとんどランダムに置いているとしか見えないのでは?


◆東京都 未菜実 さんからの解答。

【問題3】

いろいろ考えられますが、3つほど示します。

●1.

すべての桝目を1回ずつ通る道順を考えます。
(連続でなくても良い)

例えば渦巻き状とか、左上から(1,1)(1,2)(2,2)(2,1)(3,1)…とか。

その順路にp個おきに置く
(すでに置かれているところはカウントしない)

pの選び方は一定でもいいし(ばれやすいかも)、ある数列に従ったり、無理数の各桁等でも良い。

●2.

すべての桝目に座標を与えます。

例えば無理数πを2桁ごとに区切り、ぞれを座標とみなし石を置いて行きます。
すでに石が存在すれば、無視するか、ある規則(例えば、上方の空いている場所に置く)に従って置いて行く。

●3.

自然数をすべて発生させる規則(あまり単純でない方法)に従い置いて行く。
(置く順は1.の道順で良い)

例えば、「今週の問題31」の変形で、数字1から始める。

偶数の時は2倍した数字、及び+1した数字を発生する。
奇数の時は2倍した数字を発生する。
(これで、自然数はすべて重複無く発生できます。:証明は簡単なので省略)

この発生した自然数の順が一意的に決まるように、次の条件をつけます。

  1. 発生までの操作回数が少ない順に並べる。

  2. 操作回数が同数の時は
    偶数×2、偶数+1、奇数×2の順にする。

  3. 各発生した数字は発生経路を線で結び、線が交叉しないようにする。


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