『時計の針が作る面積 Part2』

『時計の針が作る面積 Part2』解答

◆千葉県　小杉さんからの解答。

θ’を０時０分の位置（時計の１２と書いてあるところ）から右回りを正とした角度と定義し、
短針、長針のθ’をそれぞれθ’(ｓ)、θ’(ｌ)とおく。

一時間後
　θ’(ｓ)＝２π、θ’(ｌ)＝１
１２ ×２π
二時間後
　θ’(ｓ)＝４π、θ’(ｌ)＝１
１２ ×４π
　…

ｎ時間後
　θ’(ｓ)＝２ｎπ、θ’(ｌ)＝１
１２ ×２ｎπ
（ｎは０以上の実数）

ｎ時間後の∠AOB＝θ’(ｌ)－θ’(ｓ)＝１１ｎπ
６

【問題１】

余弦定理より、
AB*２＝１*２+２*２－2×１×２×cos∠AOB

よって

【問題２】

三角形の面積Sは正弦を用いた公式から、
S= １
２ ×１×２×sin∠AOB=sin １１ｎπ
６

【問題３】

一般角θにおいて－１≦sinθ≦１なので、
問題２の答えから、０≦S≦１

最大値S＝１
sin １１ｎπ
６ =1→θ= １１ｎπ
６ =(４ｋ＋１)π

最小値S＝０
sin １１ｎπ
６ =0→θ= １１ｎπ
６ =ｋπ

更に、Sは
3(4k+1)
11 時間毎に最大値をとり、

6k
11 時間毎に最小値をとる。