◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
作戦
【問題２】
この作戦が最善だとするとき、賞金の期待値は、
６×（１／６）＝６／６
５×（１／６）＝５／６
３３／１８
６×（１／６）×（２／３）＝６／９
５×（１／６）×（２／３）＝５／９
４×（１／６）×（２／３）＝４／９
３０／１８
６×（１／６）×（１／３）＝６／１８
５×（１／６）×（１／３）＝５／１８
４×（１／６）×（１／３）＝４／１８
３×（１／６）×（１／３）＝３／１８
２×（１／６）×（１／３）＝２／１８
１×（１／６）×（１／３）＝１／１８
２１／１８
３３／１８＋３０／１８＋２１／１８
＝８４／１８
＝１４／３
答え １４／３万円。
プログラムを組んでシミュレーションした結果４００００回の実験で４．６６５となりました。
◆補足
１回であれば、期待値は３．５万円。
１，２，３のとき次のサイコロを振る作戦のときの期待値は３７／８万円。
１４／３−３７／８＝１／２４。
１００００×１／２４＝４１６．６６
約４１６円６６銭の差がある。
実験で４．６６６まで確定させるためには２００万回以上の試みが必要のようです。
２００万回のとき、４．６６８８６でした。
◆武田 隆司 さんからの解答。
一回サイコロを振ったとき、ある数の出る確率をｐとすると、
| ｐ＝ | １ ―― ６ |
＜T＞ｎ＝１のとき、
Ｍ(１)＝ｐ×(１＋２＋３＋４＋５＋６)＝３．５
＜U＞ｎ＝２のとき、
＜T＞の結果より一回目の出目が、３以下の場合は振りなおすのが良い。
一回目に４,５,６が出る確率は、それぞれｐだから、
Ｍ(２)＝ｐ×(４＋５＋６)＋３ｐ×Ｍ(１)＝４．２５
＜V＞ｎ＝３のとき、
＜U＞の結果より一回目の出目が、４以下の場合のみ振りなおすのが良い。
一回目に５,６が出る確率は、それぞれｐだから、
Ｍ(３)=ｐ×(５＋６)＋４ｐ×Ｍ(２)＝４．６６６
【コメント】
お二人の方からほぼ同時に解答が来ました。
種本と結果が違って驚きましたが、自分で計算してみるとどうも本の方が間違っているようです。
シミュレーションの結果と比べて、本の数値が小さいようで不審に思っていたのですが、４．６６６・・・で正しいと確信しました。
でも当然かもしれませんが、だんだん妥協するラインが下がってくるのが面白いですね。
お見合いなどでも同じでしょうか。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
最初に考えたのは、
| １回だけサイコロを振ってやめることが前提の場合の期待値は35000円。 だから、それより多い賞金を獲得できる場合（＝４以上が出た場合）はその場でやめ、さもなくば次を振る |
というものでした。すなわち
「１回目も２回目も、４以上が出ればそこでやめ、３以下ならもう１回振る」。
さて、検証に入ってみましょう。
１回目はａ以上が出たらやめ、２回目はｂ以上が出たらやめるものとしますと、期待値は
| 10000a× | 1 6 |
＋10000(a+1)× | 1 6 |
＋・・・＋60000× | 1 6 |
| ＋ | a-1 6 |
×(10000b× | 1 6 |
＋10000(b+1)× | 1 6 |
＋・・・＋60000× | 1 6 | ) |
| ＋ | a-1 6 |
× | b-1 6 |
×(10000× | 1 6 |
＋20000× | 1 6 | ＋・・・＋60000× | 1 6 | ) |
１行目は１回目でやめる場合
２行目は２回目でやめる場合
３行目は３回目まで振る場合 ・・・です。
これを計算して、最大値を出すａとｂの組み合わせを求めることになりますが私にはちょっと難しいので、Excelの助けを借りてやります。
すると、下表 のようになります。
（小数点以下第２位で四捨五入）
※ａ＝１、つまり「１回目で１以上が出たらそこでやめる」とは「１回目で何が出ようと２回目は振らない」ということなので、この表からは除外しました。
ちなみに、この場合の期待値が35000円であることはすぐ求められるはずです。
意外や意外、「１回目で５以上が出たらそこでやめ、２回目は４以上ならそこでやめる」のが一番期待値が高いようです。
さっそく実験してみましたところ、１００回やって平均獲得賞金は約47,180円でした。
いい感じです。