『三角形の面積の公式』解答

◆東京都　サボテン さんからの解答。

∠ABC=θと置く。

△ABCの面積は

acsinθ 2

・・・(1)

△BCDの面積は

a2sin(π-2θ) 2

=a2sinθcosθ・・・(2)

余弦定理より、

cosθ=

a2+c2-b2 2ac

これを(2)に代入して

a(a2+c2-b2)sinθ 2c

・・・(3)

△ACDの面積Sは(3)-(1)なので、

S=	a(a2-b2)sinθ 2c

正弦定理より、sinθ=

b 2r

これを上の式に代入し、S=

ab(a2-b2) 4cr

◆東京都の高校生　もやし さんからの解答。

図１のようにＣからＡＢに垂線ＣＨをおろし、ＣＨ＝ｈとおく。

Ｃを通る直径のＣでない方の端をＥとすると、
円周角の定理より∠ＣＡＨ＝∠ＣＥＢ

また、∠ＡＨＣ＝∠ＥＢＣ＝９０°より、
二角相等から△ＡＨＣ∽△ＥＢＣ

よって、ＣＡ：ＣＥ＝ＣＨ：ＣＢ
ｂ：２ｒ＝ｈ：ａ

∴ｈ＝

ａｂ ２ｒ

ＡＤ＝ｄとおき、図２のようにＣを通りＡＢに平行な弦のＣでない方の端をＤ’とすると、

∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝∠Ｄ’ＣＢ，∠ＣＡＤ＝∠ＢＤ’Ｃから、
∠ＡＣＤ＝∠Ｄ’ＢＣ

また、ＣＤ＝ＢＣから、二角夾辺相等より、
△ＡＣＤ≡△Ｄ’ＢＣ

ゆえに、ＡＤ＝Ｄ’Ｃ＝ｄ，ＡＣ＝Ｄ’Ｂ＝ｂ

また、これとＣＤ’//ＡＢから、四角形ＡＤ’ＣＤは平行四辺形なので、
ＡＤ’＝ＣＤ＝ａ

よって四角形ＡＢＤ’Ｃにおいてトレミーの定理（プトレマイオスの定理）より、
ＡＢ・Ｄ’Ｃ＋ＣＡ・Ｄ’Ｂ＝ＡＤ’・ＢＣ
ｃ・ｄ＋ｂ・ｂ＝ａ・ａ

∴ｄ＝

ａ2−ｂ2 ｃ

よって、△ＡＣＤの面積Ｓは、
Ｓ＝ＡＤ・ＣＨ÷２
　＝ｄ・ｈ÷２

＝

ａ2−ｂ2 ｃ

・

ａｂ ２ｒ

÷２

＝	ａｂ（ａ2−ｂ2） ４ｃｒ

ＱＥＤ

トレミーの定理は、有名なので証明なしで使いました。

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