図１−１のように置くとき、水色の階段型の埋め方は、(1)と(2)だけ。
(1)のとき、水色の階段型を埋めることはできない。
(2)のとき、水色のすきまができてしまい、不可能。
図１−５−(1)のように新たな階段型が２つできてしまい、そこを埋められるのは鍵型だけであり、１つしかないので、不可能。
図１−６−(1)のように新たな階段型ができてしまい、そこを埋めることはできない。
図１−８−(1)のように新たな階段型ができてしまい、そこを埋めることはできない。
これら以外の凸型の置き方は、はじめに書いた条件を満たさないか、あるいは図１−１〜８を回転か裏返ししたものである。
【問題２】
図２−０で水色になっている、鍵型の凹んだ部分がマスの角に来ないように鍵型を置く。
図２−２のように置くとき、上下のすきまはＬ型でしか埋められず、右側の長方形を残ったＬ型と鍵型で埋めることはできない。
図２−３のように置くとき、水色の階段型を埋めることはできない。
(1)のように左上（右下）を埋めると、水色のすきまができてしまい、不可能。
【感想】
疲れた…
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】 完成形をチェッカボード状に塗り分けると濃淡差は０である。 【問題２】 完成形を縦縞状に塗り分けると濃淡差は０である。 【テトロミノ】 因みにテトロミノ全部を用いる場合も問題１と同様であって、４×５とすることはできない。
◆出題者のコメント
東京都 もやしさん、愛知県 Y.M.O. jisanさん 正解です。
図１−２のように置くとき、水色の階段型を埋められるのは鍵型だけ。
しかし鍵型は１つしかないので、不可能。
図１−３のように置くとき、水色の部分を埋めることはできない。
図１−４のように置くとき、下と左右のすきまはＬ型でしか埋められず、そこを埋めると、水色の階段型ができてしまう。
そこを埋めることはできない。
図１−５のように置くとき、水色の階段型を埋められるのはＬ型だけだが、そこを埋めると、
図１−６のように置くとき、水色の階段型を埋められるのは鍵型だけだが、そこを埋めると、
図１−７のように置くとき、図１−３のときと同様に、不可能。
図１−８のように置くとき、水色の階段型を埋められるのはＬ型だけだが、そこを埋めると、
以上から、Ｌ型３つと鍵型と凸型の計５枚で敷き詰めることはできない。
図２−１のように置くとき、水色の階段型を埋められるのは鍵型だけだが、そこを埋めると、
図２−１−(1)のようなすきまができてしまい、不可能。
図２−４のように置くとき、
(2)のように右上（左下）を埋めると、水色の正方形を残ったパーツで埋めることはできない。
(3)のように左（右）を埋めると、水色の部分を埋めることはできない。
(4)のように下（上）を埋めると、水色の部分を埋めることはできない。
これら以外の鍵型の置き方は、はじめに書いた条件を満たさないか、あるいは図２−１〜４を回転か裏返ししたものである。
以上から、Ｌ型３つと鍵型２枚の計５枚で敷き詰めることはできない。
これを考えてて思ったんですけど、５つのパーツ全てを使って４×５のマスを埋めることはできるでしょうか。できるのなら例を、できないならその証明をしてください。
ちなみに僕はできないと思います。
証明はまだしてませんが。
一方、テトロミノは凸型のみ濃淡差が±２である。
よって全体として０とすることができない。
これは矛盾である。
一方、テトロミノはＬ型のみ濃淡差が±２である。
Ｌ型は奇数個なので全体として０とすることができない。
これは矛盾である。
一方 ２個ずつ８×５ならば可能である。
もやしさんは中学３年生なのに偉いなぁと思いました。
僕の考えた方法は、愛知県のY.M.O. jisanさんと同じでしたが、丹念に場合分けする方法でもちゃんと証明になっています。