◆広島県 清川 育男さんからの解答。
A ○×○×○×○×○×○×○×○×○×
B ×○○××○×○○××○××○○×○
C ○○×○○○×○×○○××○××××
D ×××○××○××○×○○○×○○○
生徒数，問題数とも偶数でなくてはならないことは解りますが、あとは勘でやってみたらたまたま条件を満たしました。
「どの二人をとっても二人の正解した問題は３問」と言うのを数式化するのがモヤっとしています。
この場合は、生徒数 ４人、問題数 １８問。
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
すべての生徒が半分の問題を解いたとあるので、その問題数をχとする。
全問題数は２χとなる。
生徒数をＮとする。
のべ正解数は、Ｎχとなる。
どの問題も同数の生徒が正解しているとあるので、
１問あたりの正解数は、Ｎχ／２χ＝Ｎ／２。
Ｎは２の倍数でなくてはならない。
ここで改めて生徒数を２Ｎとする。
どの二人の生徒をとっても、共通して正解している問題は３問とあるので、下記の方程式は、題意を満たす十分条件になっている。
（２ＮＣ２）×３＝２χ．．．．．．．．．．．１）
１）式より
６Ｎ2−３Ｎ−２χ＝０．．．．．．．．．２）
２）式を満たすＮ、χの自然数解を求めることになる。
必要条件として
Ｄ＝９＋４８χ＝Ｚ2．．．．．．．．．．３）
２）式をＮについて解く。
Ｎ＝（３−Ｚ）／１２。これはＺ＞３であるから、不適。
Ｎ＝（３＋Ｚ）／１２．．．．．．．．．．４）（＊）
Ｘ＝９、Ｚ＝２１、Ｎ＝２は１）式を満たす。（＊）
Ｘ＝５４、Ｚ＝５１、Ｎ＝５４／１２は不適。
Ｘ＝１８０、Ｚ＝９３、Ｎ＝８は１）式を満たす。（＊）
Ｘ＝３１５、Ｚ＝１２３、Ｎ＝１０．５は不適。
Ｘ＝７９２、Ｚ＝１９５、Ｎ＝１６．５は不適。
Ｘ＝２３１０、Ｚ＝３３３、Ｎ＝２８は１）式を満たす。（＊）
Ｘ＝２６５５、Ｚ＝３５７、Ｎ＝３０は１）式を満たす。（＊）
Ｘ＝３９４２、Ｚ＝４３５、Ｎ＝３６．５は不適。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
| 生徒数２Ｎ | 問題数２χ | |
| イ） | ４ | １８ |
| ロ） | １６ | ３６０ |
| ハ） | ５６ | ４６２０ |
| ニ） | ６０ | ５３１０ |
問題数から常識的にはイ）でしょうか。それにしても、方程式が問題の必要十分になっていません。
解が一意に決まらないように思います。
イ）の場合は例示出来ます。
コンピュータの助力を得ました。
◆千葉県の大学生 Lily of the valleyさんからの解答。
全問題数を ２ｘ、全生徒数を ２Ｎ とする。
すると、問題１問につき、それぞれ Ｎ人が解答していることになる。…(1)
ここで、生徒を Ｓ_1,Ｓ_2,,,,Ｓ_(2N) とする。
そして、例えば「生徒１」が、「問１」、「問２」、「問５」 を正解したとするとき
Ｓ_1＝｛１，２，５｝ と表す。
すると、適当な問題番号の付替をすることによって、
Ｓ_1＝｛１，２，３，，，，ｘ｝
Ｓ_2＝｛１，２，３，ｘ＋１，ｘ＋２，，，，２ｘ−３｝とできる。
ここで、同様にしていくと、Ｓ_1 と Ｓ_i には、３つだけ共通元があるので、
Ｓ_2 〜 Ｓ_(2N) に含まれる １，２，３，，，ｘ の元の数は、各Ｓ_i に３つである。
よって、Ｓ_1 〜Ｓ_(2N) のなかに含まれる１，２，３，，，ｘ の元の数は、
ｘ＋（２Ｎ−１）×３
である。
これらは、生徒が解答した 問題１，２，３，，，ｘ の数に他ならない。
よって、一問あたりで考えると、
｛ｘ＋（２Ｎ−１）×３｝／ｘ＝Ｎ となる。 (∵(1))
整理して、
(ｘ−６)(Ｎ−１)＝３ →(ｘ，Ｎ)＝(７，４)，(９，２)
前者の例は、
Ｓ_1＝｛１，２，３，４，５，６，７｝
Ｓ_2＝｛１，２，３，８，９，１０，１１｝
Ｓ_3＝｛１，２，４，１１，１２，１３，１４｝
Ｓ_4＝｛１，５，６，８，９，１３，１４｝
Ｓ_5＝｛２，５，７，８，１０，１２，１３｝
Ｓ_6＝｛３，４，７，９，１０，１３，１４｝
Ｓ_7＝｛３，５，６，１０，１１，１２，１４｝
Ｓ_8＝｛４，６，７，８，９，１１，１２｝
後者の例は清川氏を参照。
【感想】
つかれたぁ。お昼ぬきで、延々一時間。あぁ、パソコンがほしい…。
具体例は苦労の結晶です。いやぁ、われながら、よくできたもんだ。
【コメント】
涙ぐましい努力の結果、みごと正解です。
具体例は根性で作るしかないですものね。
例は何通りかあるようですが、コンピュータ等で全部調べてみる方はおいでるでしょうか？
◆石川県 Takashiさんからの解答。
≪T≫生徒の数をＮ、問題の数をＱとする。【Ｎ,Ｑ は自然数】
一人の生徒が正解した問題の数は Ｑ/２ だから、
生徒全員の正解数の合計は Ｎ･Ｑ/２ である。
また、任意の問題を正解した生徒の数が全て等しいから、
その数は (Ｎ･Ｑ/２)/Ｑ＝Ｎ/２ である。
これにより、Ｎ,Ｑ は共に偶数である事がわかるので、
Ｎ＝２ｎ,Ｑ＝２ｑ とする。【ｎ,ｑ は自然数】
・ある一人の生徒Ａに着目する。
Ａが他の（２ｎ−１）人のどの生徒と比べても、共に正解である問題が３個あるのだから、正解が重なる回数は、
３×(２ｎ−１)＝６ｎ−３
また、Ａが正解した任意の問題について、他の正解した生徒が（n-1）人いるので、正解が重なる回数は、
ｑ×(ｎ−１) とも表現できる。
よって、 ｑ×(ｎ−１)＝６ｎ−３
| ｑ＝６＋ | ３ ｎ−１ |
ｎ,ｑ は自然数だから、
（ｎ,ｑ）＝（２,９）、（４,７）
（Ｎ,Ｑ）＝（４,１８）、（８,１４）
【コメント】
方程式で求めると、解答として美しいですね。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【問題１】
生徒数=14,出題された問題の数=8
あるいは
生徒数=18,出題された問題の数=4
【問題２】
正解は 1、不正解は 0 とします。
１１１１１１１０００００００ １０１０００１０１０１１１０ １１０１０００００１０１１１ ０１１０１００１００１０１１ ００１１０１０１１００１０１ ０００１１０１１１１００１０ １０００１１００１１１００１ ０１０００１１１０１１１００ １１１１１１１１１０００００００００ １１１０００００００００１１１１１１ ０００１１１０００１１１０００１１１ ００００００１１１１１１１１１０００
◆埼玉県 mist さんからの解答。
【問題１】
生徒数：m、問題数：2n
問題文「どの問題も同じ人数の生徒が解いていたのです。」
の同じ人数：hとする。
'0'か'1'が2n個並んだベクトルv_iを用いて、
'0'が不正解、'1'が正解として
生徒A(i=1),B(i=2),C(i=3),・・・のテストの正解状態を表す。
("v_i"の"i"は下付き添え字の意味)
例えば、2n=6の場合ではAさんの正解状態は
A:ＯＯＸＸＯＸ ↓ ベクトルv_1=(1,1,0,0,1,0)このベクトルとベクトルの内積（・は内積の演算子）の規則を使って問題の条件を表す。
| h=1+ | 3 n-6 |