◆東京都 小林 祐介 さんからの解答。
【問題１】
|
1 R | +2( |
1 2R | )= |
2 R | より |
| ２つの頂点間の電気抵抗は |
R 2 |
【問題２】
最初の頂点から最も近い頂点群までの抵抗は
|
R 3 |
その次の頂点群までの抵抗は
|
R 6 |
最も遠い頂点までの抵抗は
|
R 3 |
以上より最も遠い位置にある２つの頂点間の電気抵抗は
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5R 6 |
【問題３】
最初の頂点から最も近い頂点群までの抵抗は
|
R 4 |
最も遠い頂点までの抵抗は
|
R 4 |
以上より最も遠い位置にある２つの頂点間の電気抵抗は
|
R 2 |
【問題４】
最初の頂点から最も近い頂点群までの抵抗は
|
R 3 |
その次の頂点群までの抵抗は
|
R 6 |
その次の頂点群までの抵抗は
|
R 6 |
その次の頂点群までの抵抗は
|
R 6 |
最も遠い頂点までの抵抗は
|
R 3 |
以上より最も遠い位置にある２つの頂点間の電気抵抗は
|
7R 6 |
【問題５】
最初の頂点から最も近い頂点群までの抵抗は
|
R 5 |
その次の頂点群までの抵抗は
|
R 10 |
最も遠い頂点までの抵抗は
|
R 5 |
以上より最も遠い位置にある２つの頂点間の電気抵抗は
|
R 2 |
問題６以降において、隣り合う２つの頂点を結ぶ線分に垂直かつ線分の中点を通る平面は等電位面となる。
またこの等電位面に垂直かつ上記の線分を含む平面に対して対称な位置にある２点の電位は等しい。
このことを踏まえて問題６以降を配線図に直してみる。
以下の配線図において同じ列にある頂点の電位は等しく、細線でかかれた配線には電流が流れないことを意味する。
【問題６】
この問題を配線図にすると
となる。
この配線図を解くと抵抗は
|
7R 12 | となる。 |
この回線に14RVの電圧をかけると
BD,CD,EF,EGには1A、DFには2A、BF,CGには4A、
AB,AC,FH,GHには5A、AHには14Aの電流が流れる。
【問題７】
この問題を配線図にすると
となる。
この配線図を解くと抵抗は
|
3R 7 | となる。 |
この回線に6RVの電圧をかけると
BC,BD,CE,DEには1A、AB,EFには2A、
AC,AD,CF,DFには3A、AFには6Aの電流が流れる。
【問題８】
この問題を配線図にすると
となる。
この配線図を解くと抵抗は
|
19R 30 | となる。 |
この回線に38RVの電圧をかけると
FH,GH,MN,MOには1A、FK,GL,HM,KN,LOには2A、
BD,CE,DF,EG,NP,OQ,PR,QSには3A、BI,CJ,IR,JSには8A、
AB,AC,RT,STには11A、ATには38Aの電流が流れる。
【問題９】
この問題を配線図にすると
となる。
この配線図を解くと抵抗は
|
1 2 | Rとなる。 |
この回線に22RVの電圧をかけると
DF,DG,FI,GIには1A、BD,CD,DI,IJ,IKには2A、
BE,BF,CG,CH,EJ,FJ,GK,HKには3A、AB,AC,JL,KLには8A、
AE,AH,EL,HLには11A、ALには22Aの電流が流れる。
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答。
【問題７】
問題７の図のＢ-Ｅ間に抵抗が１本抜けています。
したがって，答えは
|
5 12 | Rになるのではないかと思います。 |
◆東京都 小林 祐介 さんからの解答。
【問題７】
ご指摘があったように、配線図にミスがありました。
修正した解答を送ります。
八面体でミスをしていたとは、くやしい!!
この問題を配線図にすると
となる。
この配線図を解くと抵抗は
|
5 12 | Rとなる。 |
この回線に10RVの電圧をかけると
BC,BD,CE,DEには1A、BEには2A、AB,EFには4A、
AC,AD,CF,DFには5A、AFには10Aの電流が流れる。
◆千葉県 asama さんからの解答。
【問題６〜問題９】
正多面体の頂点の数をＮ、頂点で出合う辺の数をｎとします。
（例えば、正二十面体ならばＮ＝１２、ｎ＝５）
まず、外から一つの頂点ａに電流ｊを流し込み、
| 他の頂点から均等に | ｊ Ｎ−１ | の電流を取り出すことを考えましょう。 |
| 対称性から隣の頂点ｂに向かい | ｊ ｎ | の電流が流れますので |
| ａｂ間の電位差は | Ｒｊ ｎ | になります。 |
| 他の頂点から均等に− | ｊ Ｎ−１ | の電流を取り出した場合について考えましょう。 |
| このとき、頂点ａには対称性から− | ｊ ｎ | の電流が流れますので |
| ａｂ間の電位差はやはり | Ｒｊ ｎ | になります。 |
| 頂点ａに流れ込む電流は（１＋ | １ Ｎ−１ | ）ｊ、 |
| 頂点ｂには−（１＋ | １ Ｎ−１ | ）ｊ、 |
| そして、ａｂ間の電位差は | ２Ｒｊ ｎ | になります。 |
| ｊ＝ | （Ｎ−１）Ｉ Ｎ | ですので、 |
| ａｂ間の電位差は | ２Ｒ（Ｎ−１）Ｉ Ｎｎ | になります。 |
| よって、隣り合う２点間の抵抗は | ２Ｒ（Ｎ−１） Ｎｎ | になります。 |