『みんなで決めよう』

『みんなで決めよう』解答


◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。

【問題1】

3−三

【問題2】

4−六

【問題3】

縦、横、それぞれ格子の数の小さい順に番号を付けたとき、中央の家の格子上に置く。
例えば、[問題1]では、

横は、B(2)、A(3)、C(6)で、Aが中央
縦は、A(二)、C(三)、B(六)で、Cが中央

ですから、横はAの3、縦はCの三で、3−三となります。

[問題2]では、

横は、A(2)、B(3)、C(4)、D(5)、E(7)で、Cが中央
縦は、A(二)、C(三)、D(六)、E(六)、B(七)で、DかEが中央

ですから、4−六となります。

【理由】

横方向の位置は、縦方向の距離には関係なく、
縦方向の位置は、横方向の距離に関係ないので、
縦、横、それぞれで距離が最短になるように考えればいい。

今、2つの家A,Bが

−−−−−−A−−−−B−−−−−−

のような位置にあるとします。

第3の家CがAより左、またはBより右にある場合は、AまたはBから離れるほど距離は遠くなり、A上またはB上で距離は最短になります。

一方、CがAとBの間(A上、B上も含む)にあるときは、どの位置にあっても、距離の和は変わりません。
(常にABの距離に等しい)

同様に、2n個の家、A1,A2,・・・An,An+1・・・A2nがこの順に並んでいるとすると、An と An+1 の間の点から、各家への距離の和は変わりません。
(常にA1〜A2n+A2〜A2n-1+・・・+An〜An+1に等しい)

また、その点がAnとAn+1の間より外にあれば、距離は増えていくので、これが最小の距離になることは明らかです。

さらにそこに、第2n+1番目の家Bが An と An+1 の間にあり、第2n+2番目の家Cをそこに置き、距離の和を最小にするには、Bと重ねておく以外にありません。
よって、上のような、方法で距離が最小になります。

また、家が偶数の時は距離が最小になる点が2つ以上存在する場合も出てきます。
例えば、A(1−一)、B(1−七)、C(7−七)、D(7−一)とすると、正方形ABCD内(周も含む)のどの格子点からも距離の和は一定になります。


【コメント】

 ようやく確認できました。
縦、横がそれぞれ中央になっている家の場所から少しでも動くと、遠くなる家が多いですから、距離の和は大きくなってしまうのですね。


◆群馬県 数学好き3 さんからの解答。

【問題3】

 一般的な解法です。
まず任意の点を出発点に決めます。
その位置から、上下左右どの方向でもよいから、適当に1ます分動かす点を候補として決めます。
もしその点に動かすことによって近くなる人の方が多いなら、実際に動かしてみます。
もし近くなる人の数が少ない場合は、別の点を候補として考え、やはり多数決をとって動かすか否かを決めます。

上下左右どの方向に動かしても、近くなる人の数が少なくなってしまう場合、その点が「それぞれの家からの距離の和が最小になる地点」です。


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