『小学生の手遊び』 解答


◆山梨県 Footmark さんからの解答。

相手の立てる片手の指の本数が、自分の両手がそれぞれが折っている指の本数にならないようにする。
そうすれば、勝つとは限らないが絶対負けることはありません。

ちなみに、相手も絶対負けない方法を採るとループ(千日手)になります。

下に示す二人の両手の状態は後手が毎度選択できる6手目以外はすべて必然です。
括弧内は一方の人の立てている指の本数で、左の括弧が先手で右の括弧が後手です。
ただし、括弧内の順序(右手か左手か)は問題にしていません。

1手目        (1,1),(1,2)
2手目        (1,2),(1,2)
3手目        (1,2),(2,2)
4手目        (1,4),(2,2)
5手目        (1,4),(2,3)
6手目 (1,1),(2,3) または (4,4),(2,3)
7手目 (1,1),(3,3)     (4,4),(2,2)
8手目 (1,4),(3,3)     (1,4),(2,2)
             5手目に戻る

◆出題者のコメント。

ありがとうございます。
これで娘と互角に戦えそうです。
相手が必然では無い手を打ってきたときにどうなるかの解説があれば、マニュアルとして完璧でしょう。

  なお、簡単に答が出たので、少し面倒な問題を追加しました。


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

【追加問題1】

AND-OR木(ゲームの木)を作って一部調べました。

  1手目        (1,1),(1,2)
  2手目        (1,2),(1,2)
  3手目        (1,2),(2,2)
  4手目        (1,4),(2,2)
  5手目        (1,4),(2,3)
  6手目        (1,1),(2,3)
  7手目を変化させてみました。

  7手目        (1,1),(2,4) 
  8手目        (1,3), (2,4) 
  9手目          (1,3), (0,2)  
 10手目          (0,1), (0,2)  
 11手目          (0,1), (0,3)  
 12手目          (0,4), (0,3)  
 13手目          (0,4), (0,2)                              
 14手目          (0,1), (0,2) 10手目に戻る。
題意からすると変化させた方が先にポイントを取られなくてはならないことになりますが、 とりあえず、負けない例があることを報告します。
全探索はプログラムでないと混乱しそうです。


◆出題者のコメント。

(1)
7手目の失敗(変化)に対して題意としては、4本で叩き返されて下記8手目状態が出発点です。
この8手目も最善手の一つであり、Footmark戦法の拡大解釈
(指の本数にならないようにする→指の本数になる組み合わせ数を最小にする)
に則っています。

9手目としては1本で4本を叩いて、解答の10手目状態になりループが始まります。

  7手目        (1,1),(2,4) 
  8手目        (0,1), (2,4) 
  9=10手目       (0,1), (0,2)
(2)
追加問題2はパソコンによる全探索解を想定しています。
これまでの数学の部屋の問題には探索深さがループ解により無限になるものはなかったと思います。
新タイプであり、一方探索範囲は狭いので、是非PCによる良い探索の方法を考えてください。
人間ならパターン認識でなんてことなく省ける無駄な探索を放棄するところが、プログラムでは工夫のしどころで面白いと思います。

(3)
「最善」の意味が曖昧だったかもしれません。
必勝、必敗、引き分けの3タイプのみの区分けの中でと考えていました。
同じ引き分けの中でも、ループが長くあるいは複雑で相手がミスを犯す可能性が高いものがより最善と考えるような問題の設定方法もあるでしょう。


◆広島県 清川 育男 さんからのコメント。

【出題者のコメントに対するコメント】

(1)について

9手目としては1本で4本を叩いて、解答の10手目状態になりループが始まります。

  7手目        (1,1),(2,4) 
  8手目        (0,1), (2,4) 
  9=10手目       (0,1), (0,2)
 これだと、
 10手目          (0,3), (0,2) 
  11手目          (0,3), (0,0) 
ループに入らず先手の勝ちになると思います。

したがって、
>(3)「最善」の意味が曖昧だったかもしれません。
「最善」の意味に曖昧さはないと思います。


◆出題者のコメント。

失礼しました。
先攻と後攻を間違えていました。
片手同士でのループ状態もあることを伝えたいための問題でしたので、一応目的は達しました。
そこで、ほぼ解答を言うと、5手目を変化させます。


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

【追加問題2】

8の字のようなループがありません。
漏れがあるかもしれません。
結論としては、最善は「引き分け」でしょうね。
一応、ループを10個見つけました。

 1            (1,1)(1,2)                  
 2            (1,2)(1,2)                  
  3            (1,2)(2,2)                  
  4            (1,4)(2,2)                  
  5            (1,4)(2,3)                  
  6 (1,1)(2,3)            (4,4)(2,3)            
  7 (1,1)(3,3) (1,1)(2,4) (4,4)(2,2) (4,4)(1,3) 
  8 (1,4)(3,3) (1,3)(2,4) (1,4)(2,2) (2,4)(1,3) 
  9 (1,4)(2,3) (1,3)(0,2) (1,4)(2,3) (2,4)(0,3) 
 10            (0,1)(0,2)            (0,4)(0,3) 
 11            (0,1)(0,3)            (0,4)(0,2) 
 12            (0,4)(0,3)            (0,1)(0,2) 
 13            (0,4)(0,2)            (0,1)(0,3) 
 14            (0,1)(0,2)            (0,4)(0,3) 
 15                                             
 16 
                                            

1 (1,1)(1,2)  2 (1,2)(1,2) 3 (1,2)(2,2) 4 (1,4)(2,2) 5 (1,4)(1,2) 6 (0,1)(1,2) (2,4)(1,2) (3,4)(1,2) (1,1)(1,2) 7 (0,1)(1,3) (2,4)(0,2) (3,4)(0,1) (1,1)(2,2) (1,1)(1,3) 8 (0,2)(1,3) (1,2)(0,2) (0,3)(0,1) (1,3)(2,2) (1,2)(1,3) 9 (0,2)(0,1) (1,2)(0,4) (0,3)(0,4) (1,3)(0,2) (1,2)(0,1) (1,3)(2,3) 10 (0,3)(0,1) (0,2)(0,4) (0,2)(0,4) (0,1)(0,2) (1,3)(0,1) (0,1)(2,3) 11 (0,3)(0,4) (0,2)(0,1) (0,2)(0,1) (0,1)(0,3) (1,3)(0,2) (0,1)(3,3) 12 (0,2)(0,4) (0,3)(0,1) (0,3)(0,1) (0,4)(0,3) (0,1)(0,2) (0,4)(3,3) 13 (0,2)(0,1) (0,3)(0,4) (0,4)(0,2) (0,1)(0,3) (0,4)(2,3) 14 (0,2)(0,4) (0,1)(0,2) (0,4)(0,3) (0,1)(2,3) 15 (0,4)(0,2) 16 (0,1)(0,2)

◆出題者のコメント。

解答ありがとうございます。
おおよそOKです。
追加問題2は少し省略してますが下図のような感じになります。


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