◆東京都 由釜与祢弥 さんからの解答。
【練習問題１】
6006[通り]
【練習問題２】
6006[通り]
【本命問題】
|
(mn)! [通り] |
(1),(2)についてはプログラムを書いて確かめました。
(3)については、これがカタラン数であることが予想されることからの予想です。
したがってこれを証明しなければならないのですが、至らず...。
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
４ヶ月近くも未解答だったので、とても嬉しいです。
正解だと思います。
でも、証明がないのと未証明の「考えていた一般解」と異なるため、言い切ることができず困っています。
でも、プログラムで確かめたということですから、おそらく「考えていた一般解」は間違っていたのでしょう。＾＾；
（事務系のソフトが一切ないため、ｍ,ｎが大きくなると私には確かめることができません。）
ですから、誰かが証明してくれるのを期待したいところです。
ｍ種類ｎ個ずつを（ｍ,ｎ）で表すと、「考えていた一般解」でも
（１,ｎ）＝１
| （２,ｎ）＝ | 2nＣn ｎ＋１ |
| （ｍ,１）＝１ |
| （ｍ,２）＝ | 2mＣm ｍ＋１ |
| （３,３）＝４２ |
となり、由釜与祢弥 さんの一般解の結果と同じです。
ところが、それ以外だと「考えていた一般解」の方が小さい数になります。
それにしても、この複雑な一般解をよく導き出したものだと感服しました。
「考えていた一般解」は、全ての場合がカタラン数になることを前提に無理やり導いたため、当然どんな場合もカタラン数になります。
６００６もそうであるように、全ての場合がカタラン数になるわけではなかったんですね。
(下のカタラン数三角形参照)