『三角ビリヤード』

『三角ビリヤード』解答

◆匿名の方からの解答。

辺ＢＣを３：７に内分する点めがけて玉を送り出すと、
１０^1.5ｃｍ動いた後、Ｃにぶつかります。

感想：
解き方を書きたいけど図が描けないので無理です。
一応口で言うとＡからＢまで行くのに途中で川によりたいのですがどうすればよいかという問題の解き方に似てます。

【コメント】

　やはり川の問題を思い出しましたか。
実は私もそうです。

確かに図が送れないのが、この解答用紙の欠点です。
もしよろしければメールに添付して送ってください。
ただ解答の３：７は残念ながら正解ではありません。

◆宮城県　斉藤　誠さんからの解答。

　万華鏡をイメージし、光の反射を利用しました。

図のｂ点が鏡ａｏで作られる鏡像をｂ’とします。

同様に点ｂ’が鏡ａｂで作られる鏡像をｂ”、さらに鏡ｂｏでの鏡像をｂ'''とすると、ａ点からみたｂ点の鏡像に向かって玉を転がせば３度反射してｂ点に到達します。

距離は図より明らかなように約３１ｃｍになります。

ところで、図は直角２等辺３角形ですが、少し変形したらどうなるでしょうか？

　１、直角を広げる
　２、辺をながくする

の２通りが考えられます。

１２０度まで広げられます。
ａからｏ、次に斜辺の中点、そしてｏにもどりｂへ向かう。
もちろん極限ですから物理的にはむりですが・・・
こちらの極限は、斜辺の両方の角度が３０度、６０度
角ａを３０度とするとａから辺ｏｂのｂ点、反射して斜辺のｂ点、辺ａｏのｏ点、で最後にｂ点

正６角形の万華鏡はつまらないでしょうね！！きっと

【コメント】

　すばらしい解答をいただきましてありがとうございます。
図を見れば辺ＢＣを何：何に内分する点をねらえばよいか、すぐにわかりますね、
実は最初、図が添付されているのに気がつかず、考え込んでしまいました。
そのうち万華鏡の問題も出題しようかと思っています。

◆東京都　恵美　健一さんからの解答。

答えは、第一クッションを1：2に内分する点に向かって、玉を撃ち出し、

玉は１０ｃｍ進みます。

図の二等辺三角形の下に一辺10ｃｍ正方形を二つ並べて書きます。
(はしごのような図形になる)

一番下の正方形の右下頂点と二等辺三角形の最上部頂点を結びます。
すると、この直線は、玉の軌道の展開図となっているので、後はこの直線の長さを求めれば軌道の距離は求まります。

三平方の定理より、
x²=10²+30²

よってx＝１０

第一クッションのどこに当てればよいかは、相似より明らかです。

答え１０
３。

◆京都府　釜坂　正芳さんからの解答。

この手の問題は，玉が跳ね返る辺で図形を折り返していくのが定石です。
（「恵美様」の解答もこの方法によると思われますが，なにしろ図がないので，分かりにくいと思い，図入りの解答を送りました。）

玉が最初に跳ね返る辺ＣＢで△ＡＣＢを折り返します。
次にＢＡ'，Ａ'Ｃと緑の辺で折り返します。

線分ＡＢ'が玉の進む距離になり10cm，30cmの長方形の対角線の長さ

１０になります。

また，ねらう点は，△ＯＡＢ∽△ＯＢ'Ｂから

ＣＯ：ＯＢ＝１：２となる点Ｏであることも明らかです。

◆宮城県　アンパンマンさんからの解答。

BC から右へ10cm伸ばしたところをDとします。

そうすると、玉の進んだ距離はDAの中点からBまでの距離の２倍になります。

よって進んだ距離は　

です。

点Ｂに当たるためには

CB上の点Oで、CO:OB＝1：2の点をねらえばあたるはずです。

◆香川県　norio さんからの解答。

まず、第１クッションポイントをＤ、第２クッションポイントをＥとします。

Ｂに落とすには、ＥはＡとＢを結ぶ線のど真ん中でなければいけません。
つまり、ＣＥ線を中心に軌道は左右対称でなければいけません。

それでは、第２ポイントＥがつかめたので、次にＥに行くための第１クッションポイントＤを考えます。
そこで、Ｅから下に垂直に線を引き、ＣＢ線と交わったところをＦとします。
また、ＡＦ線とＥＣ線とが交わったところをＧとします。
Ｇから垂直に線を降ろしてＢＣ線と交わったところがＤになります。

では、Ｄの位置はというと三角形ＧＦＥとＧＡＣは１：２で相似です。
つまり、ＤＦとＣＤも１：２ということになります。

結局第１クッションポイントは、ＣＢ線の１／３のところをねらえば良いと言うことになります。

長さは、まず、ＡＤの長さＸを求め、３倍します。

１０²＋ ( １０
３ ) ² ＝Ｘ²

Ｘ＝１０
３

答え　１０

◆埼玉県　違うかも？さんからの解答。

二回目に衝突する場所（以降D)はAB間のちょうど真中です。
球の軌道はCDを軸にする線対称になる。

一回目に衝突する場所をEとして、衝突後の角度は変わらないので、
AEとEDの長さは２：１の関係になる。

球を打ってからDまで行く時間の３分の２の時、球はEにある。

横だけで考えると、Cから５センチの３分の２の点がEにあたる。

よって、Cから右に１０
３センチの点を狙え。

（角度CAEは１５度）

距離

AEの長さの３倍が合計移動距離

よって、
１０²＋ ( １０
３ ) ² のルートの３倍が合計の移動距離。

約３１．６センチ

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