◆東京都 千葉 英伸 さんからの解答。
【問題１】
各点を位置ベクトルで表すことにして、
Ｐnの、定点Ｑについて対称な点Ｐn+1を考えると、
点Ｑ は線分PnPn+1の中点なので、
| → Q | ＝ |
１ ――― ２ | ( |
→ Pn | ＋ |
→ Pn+1 | ) |
| ∴ | → Pn+1 | ＝２ |
→ Qn | − |
→ Pn | ・・・(1) |
さて、時刻6tに原子XがＰ0にあることを示すには、
| → P6 | ＝ |
→ P0 |
式(1)を順番に使って計算してみましょう。
【問題２】
【問題２−１】
まず最初に、各定点Ｑ1，Ｑ2，・・・，Ｑnに便宜上の別名
Ｑn+1，Ｑn+2，・・・，Ｑn+n＝Ｑ2nをつける。
ただし、Ｑn+i＝Ｑi (1≦i≦n)とする。
問題１と同様に、
| → P2n | ＝ |
→ P0 |
時刻2nt以降は同じことの繰り返しなので、
時刻2nktには必ず点Ｐ0にあることが証明できる。
そこで、時刻2tごとの原子Xの振る舞いを考えてみる。
点 Ｐ2iにいる原子Xは、
定点Ｑ2i+1 について対称な点Ｐ2i+1 に移動し、
点Ｐ2i+1からさらに定点Ｑ2i+2について対称な点Ｐ2i+2に移動する。
図から明らかなように、
線分 P2iP2i+2は定点のつくる線分Q2i+1Q2i+2 に平行で、
さて、式(*)の括弧の中のｎ個のベクトルに注目すると、ｎは奇数なので、
点Ｑn はそれを含むベクトルの始点となる。
つまり、
式(*)'の括弧の中をよくよくみると、
定点をＱ1 から順にＱn までたどり、最後にＱ1 に戻る閉曲線に他ならないので零ベクトルになる。
すなわち、
| → P0P2n | ＝ |
→ 0 |
| → P2n | ＝ |
→ P0 |
【問題２−１】
この問題は証明できません。
たまたまP0に戻ってしまう反例をあげておきます。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
条件より、
２ |
→ Ａ | ＝ |
→ P0 | ＋ |
→ P1 | ・・ (1) |
２ |
→ Ｂ | ＝ |
→ P1 | ＋ |
→ P2 | ・・ (2) |
２ |
→ Ｃ | ＝ |
→ P2 | ＋ |
→ P3 | ・・ (3) |
２ |
→ Ａ | ＝ |
→ P3 | ＋ |
→ P4 | ・・ (4) |
２ |
→ Ｂ | ＝ |
→ P4 | ＋ |
→ P5 | ・・ (5) |
２ |
→ Ｃ | ＝ |
→ P5 | ＋ |
→ P6 | ・・ (6) |
(1)-(2)+(3)-(4)+(5)-(6) より、
| → ０ | ＝ |
→ P0 | − |
→ P6 |
| よって、 |
→ P6 | ＝ |
→ P0 |
【問題２−１】
【問題１】と同様に
Ｐ1、Ｐ2・・・Ｐ2n をとります。
２ |
→ Q1 | ＝ |
→ P0 | ＋ |
→ P1 | ・・ (1) |
２ |
→ Q2 | ＝ |
→ P1 | ＋ |
→ P2 | ・・ (2) |
２ |
→ Q3 | ＝ |
→ P2 | ＋ |
→ P3 | ・・ (3) |
２ |
→ Qn | ＝ |
→ Pn-1 | ＋ |
→ Pn | ・・ (n) |
２ |
→ Q1 | ＝ |
→ Pn | ＋ |
→ Pn+1 | ・・ (n+1) |
２ |
→ Qn | ＝ |
→ P2n-1 | ＋ |
→ P2n | ・・ (2n) |
| → P1 | ， |
→ P2 | の順に消去していくと、 |
(1)-(2)
２ |
→ Q1 | −２ |
→ Q2 | ＝ | → P0 | − |
→ P2 |
(1)-(2)+(3)
２ |
→ Q1 | −２ |
→ Q2 | ＋２ |
→ Q3 | ＝ | → P0 | ＋ |
→ P3 |
●(1)-(2)+(3)-・・・+(n)
２ |
→ Q1 | −２ |
→ Q2 | ＋２ |
→ Q3 | −・・・＋２ |
→ Qn | ＝ |
→ P0 | ＋ |
→ Pn |
● (1)-(2)+(3)-・・・-(n+1)
−２ |
→ Q2 | ＋２ |
→ Q3 | −・・・＋２ |
→ Qn | ＝ |
→ P0 | − |
→ Pn+1 |
● (1)-(2)+(3)-・・・+(n+2)
２ |
→ Q3 | −・・・＋２ |
→ Qn | ＝ |
→ P0 | ＋ |
→ Pn+2 |
・・・
●(1)-(2)+(3)-・・・+(n)-(n-1)+・・・-(2n)
| → ０ | ＝ |
→ P0 | − |
→ P2n |
|
→ P0 | ＝ |
→ P2n |
あとはこれの繰り返しになるので、自然数ｋに対して、
時刻２ｎｋｔに原子ＸはＰ0にある。
【問題２−２】
実はＰ0に戻ることはあります。
例えば、Ｑ1,Ｑ2,Ｑ3,Ｑ4が平行四辺形であるとき、
| → Q1 | − | → Q2 | ＝ |
→ Q4 | − | → Q3 |
２ |
→ Q1 | −２ | → Q2 | ＋２ |
→ Q3 | −２ | → Q4 | ＝ |
→ P0 | − |
→ P4 |
| より | → P0 | ＝ |
→ P4 | が導け、 |