◆大阪府 らぶりぃナナちゃん さんからの解答。
【問題１】
１１
【問題２】
７
【問題３】
１０
【問題４】
Ａ○Ｂ＝２＊（Ａ＋Ｂ）
Ａ□Ｂ＝（Ａ＋Ｂ）＋１
Ａ△Ｂ＝２＊ｍａｘ（Ａ，Ｂ）
他にも答えがありそうな気がします。
こういう問題も面白いですね。
◆島根県の高校生 支離滅裂 さんからの解答。
【問題４】
4○13=34，8○9=34なので、
4○13=8○9=34となる○を考えると
…○の両隣の数の和を2倍する。
4□13=18，8□9=18なので、
4□13=8□9=18となる□を考えると
…□の両隣の数の和に1を加える。
△は両隣の数について3を2 または 偶数を2と考えて積を求める。
【問題１】
上記より、(1/2+5)*2=11
【問題２】
上記より、6+X+1=14 ∴X=7
【問題３】
上記より、
(2+8)*2+(7+6+1)-(2*2)=30
◆兵庫県 MCK-MARCOT さんからの解答。
ちょっと前後して問題４から
【問題４】
A○B → (A + B) × 2
A□B → A + B + 1
A△B → AとBで数の大きい方×2
この式をそれぞれの問いに当てはめて
【問題１】
1/2○5 = (1/2 + 5) × 2 = 11/2 × 2 = 11
答え：11
【問題２】
6□Ｘ=14 = 6 + X + 1 = 14 = 7 + X = 14
→ X = 14 - 7 = 7
答え：7
【問題３】
（2○8）+（7□6）-（8△12）
= (2 + 8) × 2 + (7 + 6 + 1) - 12 × 2
= 32 + 14 - 24 = 22
答え：22
久々に頭の体操をしました。こういった問題は好きです。
△の計算式を見つけるのが手こずりましたね。
◆東京都の高校生 MATIX さんからの解答。
【問題４】
○・・・２つの数字を足したものを２倍する。
つまり Ａ○Ｂ＝（Ａ＋Ｂ)×２
□・・・２つの数字を足したものに１を足す。
つまり Ａ□Ｂ＝Ａ＋Ｂ＋１
△・・・２つのうち大きいほうを２倍する。
つまり
Ａ△Ｂ
＝２×Ａ（Ａ＞Ｂのとき）
＝２×Ｂ（Ｂ＞Ａのとき）
＝２×ＡまたはＢ（Ａ＝Ｂのとき）
そこで、【問題１】〜【問題３】を考えると・・・。
【問題１】
| １ ２ |
○５＝（ | １ ２ |
＋５)×２＝１１ |
【問題２】
６□Ｘ＝６＋Ｘ＋１＝１４
これより、Ｘ＝７
【問題３】
（２○８）＋（７□６）−（８△１２）
＝（２＋８）×２＋（７＋６＋１）−２×１２
＝３２＋１４−２４
＝２２
私から問題を出してもいいかなあ？
これじゃあ、 『高校生からの挑戦状 Part？？』になっちゃうよ。
【問題４＋１】
Ａ○Ｂ＝Ａ□Ｂとなる自然数はあるか？
Ａ△Ｂ＝Ａ○Ｂとなる自然数はあるか？
Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂとなる自然数はあるか？
【問題４＋２−１】
結合法則 （Ａ￥Ｂ）￥Ｃ＝Ａ￥（Ｂ￥Ｃ）は成り立つか？
￥には○△□を入れるものとする。
【問題４＋２−２】
分配法則 （Ａ￥Ｂ）￥Ｃ＝（Ａ￥Ｃ）￥（Ｂ￥Ｃ）は成り立つか？
￥には○△□を入れるものとする。
◆大阪府の高校生 Y.M さんからの解答。
とりあえず規則がはっきりしないことには進めないだろうと思われたので、4番目からやっていきます。
【問題４】
//各々の規則(推測)//…(*)
X○Y=2(X+Y)
X□Y=X+Y+1
X△Y
---X＞Yの時 X△Y=2X
---X＜Yの時 X△Y=2Y でしょうか？
サンプルが5つずつしかないので何とも言えないのが現状であったり(--;
例えば実際"○"の規則は
X○Y=2(X+Y)+(X-11)(X-8)(X-5)(X-4)(X-3)(Y-13)(Y-9)(Y-7)(Y-3)(Y-2)…
どといくらでも作れるのではないかな、と意地悪な考え方もしましたが、ただこの規則(*)が一番適当であると思われるのでこのままで突っ切ります。
【問題１】
1/2○5=2(11/2)=11 より、
答え・11
【問題２】
6□X=6+X+1=14 より、
答え・7
【問題３】
(2○8)+(7□6)-(8△12)=2*10+(7+6+1)-(2*12)=20+14-24=10 より、
答え・10
この問題は、他の解き方があるのでしょうか？
◆埼玉県 KATSUHILO・K’ さんからの解答。
【問題１】
a○b＝２・（a+b）より
１/２○５＝２・（１/２+５）＝１１
[答え：１１]
【問題２】
c□d＝c+d+１より
６□Ｘ＝１+６+×＝７+×＝１４ ⇒×＝７
[答え：７]
【問題３】
e≦fのとき、e△f＝２・ｆなので、
（8△12）＝２・１２＝２４・・・・・(3)
（2○8）＝２・（２+８）＝２０・・・・・・(1)
（7□6）＝７+６+１＝１４・・・・・・(2)より、
（2○8）+（7□6）-（8△12）＝(1)+(2)-(3)＝２０+１４-２４＝１０
[答え：１０]
【問題４】
○は○の両側にある数字の和を２倍します。
5○3 = 2・(5+3) = 16，
3○7 = 2・（3+7) = 20，
4○13 = 2・(4+13) = 34，
11○2 = 2・(11+2) = 26，
8○9 = 2・(8+9) = 34
□は□の両側にある数字の和に１を足します。
5□3 = 5+3+1 = 9 ，
3□7 = 3+7+1 = 11，
4□13 = 4+13+1 = 18，
11□2 = 11+2+1 = 14，
8□9 = 8+9+1 = 18
△は△の両側にある数字の大きい方を２倍します。
5△3 = 2・5 = 10，
3△7 = 7・2 = 14，
4△13 = 13・2 = 26，
11△2 = 11・2 = 22，
8△9 = 9・2= 18
◆千葉県 菜花子 さんからの解答。
【問題１】
1 - ○5=11 2
○=x2+2x
1 - x2+2x 5=11 2
【問題２】
6□Ｘ=14
Ｘ=7
□=+1+
6+1+X=14
X=7
【問題４】
------------ □=+1+ ------------ 5+1+ 3= 9 3+1+ 7=11 4+1+13=18 11+1+ 2=14 8+1+ 9=18 ------------ ○=x2+2x ------------ 5 x2+2x 3=16 3 x2+2x 7=20 4 x2+2x13=34 11 x2+2x 2=26 8 x2+2x 9=34
◆神奈川県の中学校３年生 omega さんからの解答。
【問題１】
１１
【問題２】
７
【問題３】
１０
【問題４】
A○B＝(A+B)×2
A□B＝A+B+1
A△B＝max(A,B)×2
◆長崎県 しゅーせー さんからの解答。
○に関する式の解は、「○を囲む２つの数の和」を２倍したもの。
つまり、○の式の法則は、（ａ＋ｂ）×２
□に関する式の解は、「□を囲む２つの数の和」に１を足したもの。
つまり、□の式の法則は、ａ＋ｂ＋１
△に関する式の解は、「△を囲む２つの数の和」から、「△を囲む２つの数の差の絶対値」を足したもの。
つまり、△の式の法則は、（ａ＋ｂ）＋｜(ａ−ｂ)｜
問題１について、○の法則に従ってそれぞれ数を代入すると、
| １ ２ | ○５は、( | １ ２ | ＋５）×２＝ | １＋１０ ２ | ×２＝１１ |
問題２について、
６□Ｘ＝１４なので、□の法則に従って、それぞれ数を代入すると、
６＋Ｘ＋１＝１４と表わせる。それゆえ、Ｘ＝７
問題３について、○□△の法則に従ってそれぞれ数を代入すると、
（２○８）＋（７□６）−（８△１２） ＝｛（２＋８）×２｝＋｛７＋６＋１｝−｛（８＋１２）＋｜(８−１２)｜｝ ＝２０＋１４−（２０＋４） ＝３４−２４ ＝１０問題４について、上述したが、○については、「○を囲む２つの数の和」を２倍したもの。
□に関する式の解は、「□を囲む２つの数の和」に１を足したもの。
つまり、□の式の法則は、ａ＋ｂ＋１
△に関する式の解は、「△を囲む２つの数の和」から、「△を囲む２つの数の差の絶対値」を足したもの。
つまり、△の式の法則は、（ａ＋ｂ）＋｜(ａ−ｂ)｜
ｐ．ｓ．小学生の問題で、絶対値を使わずに式を表わすことができるのか考えています。
【問題４＋１】
※Ａ○Ｂ＝Ａ□Ｂとなる自然数はあるか？
○と□のそれぞれの式を代入すると、
２（Ａ＋Ｂ）＝Ａ＋Ｂ＋１
Ａ＋Ｂ＝１となり、Ａ＋Ｂ＝１になる自然数は存在しないため、
Ａ○Ｂ＝Ａ□Ｂとなる自然数はないと考えられる。
※Ａ△Ｂ＝Ａ○Ｂとなる自然数はあるか？
△と○のそれぞれの式を代入すると、
（Ａ＋Ｂ）＋｜(Ａ−Ｂ)｜＝２（Ａ＋Ｂ）
｜(Ａ−Ｂ)｜＝Ａ＋Ｂ
Ａ−Ｂ≧０の場合、
Ａ−Ｂ＝Ａ＋Ｂ
２Ｂ＝０
Ｂ＝０ となり、０は自然数ではないので、
Ａ−Ｂ≧０のときＡ△Ｂ＝Ａ○Ｂとなる自然数はない。
Ａ−Ｂ＜０の場合、
−Ａ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ
２Ａ＝０
Ａ＝０となり、
Ａ−Ｂ＜０のときもＡ△Ｂ＝Ａ○Ｂとなる自然数はない。
※Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂとなる自然数はあるか？
□と△のそれぞれの式を代入すると、
Ａ＋Ｂ＋１＝（Ａ＋Ｂ）＋｜(Ａ−Ｂ)｜
｜(Ａ−Ｂ)｜＝１
Ａ−Ｂ＝±１
よって、ＡとＢの差が±１である場合
Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂとなる自然数は存在すると考えられる。
【問題４＋２−１】
結合法則 （Ａ￥Ｂ）￥Ｃ＝Ａ￥（Ｂ￥Ｃ）は成り立つか？
￥には○△□を入れるものとする。
※○の場合、
（Ａ○Ｂ）○Ｃ＝Ａ○（Ｂ○Ｃ）
２（Ａ＋Ｂ）○Ｃ＝Ａ○２（Ｂ＋Ｃ）
２｛２（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ｝＝２｛Ａ＋２（Ｂ＋Ｃ）｝
それぞれ２で割ると、
２（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋２（Ｂ＋Ｃ）
２Ａ＋２Ｂ＋Ｃ＝Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ
Ａ＝Ｃ となり、
Ａ＝Ｃのときに成り立つ。
※□の場合、
（Ａ□Ｂ）□Ｃ＝Ａ□（Ｂ□Ｃ）
（Ａ＋Ｂ＋１）□Ｃ＝Ａ□（Ｂ＋Ｃ＋１）
（Ａ＋Ｂ＋１）＋Ｃ＋１＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ＋１）＋１
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋２＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋２
となり、成り立つ。
※△の場合、
（Ａ△Ｂ）△Ｃ
＝Ａ△Ｂ＋Ｃ＋｜Ａ△Ｂ−Ｃ｜
＝Ａ＋Ｂ＋｜Ａ−Ｂ｜＋Ｃ＋｜Ａ＋Ｂ＋｜Ａ−Ｂ｜−Ｃ｜
Ａ−Ｂ≧０のとき、
２Ａ＋Ｃ＋｜２Ａ−Ｃ｜
２Ａ−Ｃ≧０のとき、４Ａ
２Ａ−Ｃ＜０のとき、２Ｃ
Ａ−Ｂ＜０のとき、
２Ｂ＋Ｃ＋｜２Ｂ−Ｃ｜
２Ｂ−Ｃ≧０のとき、４Ｂ
２Ｂ−Ｃ＜０のとき、２Ｃ
Ａ△（Ｂ△Ｃ）
＝Ａ＋Ｂ△Ｃ＋｜Ａ−Ｂ△Ｃ｜
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋｜Ｂ−Ｃ｜＋｜Ａ−（Ｂ＋Ｃ＋｜Ｂ−Ｃ｜）｜
Ｂ−Ｃ≧０のとき、
Ａ＋２Ｂ＋｜Ａ−２Ｂ｜
Ａ−２Ｂ≧０のとき、２Ａ
Ａ−２Ｂ＜０のとき、４Ｂ
Ｂ−Ｃ＜０のとき、
Ａ＋２Ｃ＋｜Ａ−２Ｃ｜
Ａ−２Ｃ≧０のとき、２Ａ
Ａ−２Ｃ＜０のとき、４Ｃ
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝Ａ△（Ｂ△Ｃ）となるのは、
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝Ａ△（Ｂ△Ｃ）＝４Ｂとなるとき。
つまり、Ａ＜Ｂ、２Ｂ≧Ｃを満たし、さらにＢ≧Ｃ、Ａ＜２Ｂを満たすときなので、
Ａ＜Ｂ≧Ｃのとき、（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝Ａ△（Ｂ△Ｃ）は成り立つ。
【問題４＋２−２】
分配法則 （Ａ￥Ｂ）￥Ｃ＝（Ａ￥Ｃ）￥（Ｂ￥Ｃ）は成り立つか？
￥には○△□を入れるものとする。
※○のとき
（Ａ○Ｂ）○Ｃ＝（Ａ○Ｃ）○（Ｂ○Ｃ）
２｛２（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ｝＝２（Ａ＋Ｃ）○２（Ｂ＋Ｃ）
２｛２（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ｝＝２{２（Ａ＋Ｃ）＋２（Ｂ＋Ｃ）｝
両方を２で割ると、
２（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝２（Ａ＋Ｃ）＋２（Ｂ＋Ｃ）
２Ａ＋２Ｂ＋Ｃ＝２Ａ＋２Ｃ＋２Ｂ＋２Ｃ
Ｃ＝２Ｃ＋２Ｃ
３Ｃ＝０
Ｃ＝０
よって、Ｃ＝０のとき成り立つ。
※□のとき
（Ａ□Ｂ）□Ｃ＝（Ａ□Ｃ）□（Ｂ□Ｃ）
（Ａ＋Ｂ＋１）＋Ｃ＋１＝（Ａ＋Ｃ＋１）＋（Ｂ＋Ｃ＋１）＋１
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋２＝Ａ＋Ｂ＋２Ｃ＋３
Ｃ＝−１
よって、Ｃ＝−１のとき成り立つ。
※△のとき、
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）
（Ａ△Ｂ）△Ｃについて、
＝Ａ△Ｂ＋Ｃ＋｜Ａ△Ｂ−Ｃ｜
＝Ａ＋Ｂ＋｜Ａ−Ｂ｜＋Ｃ＋｜Ａ＋Ｂ＋｜Ａ−Ｂ｜−Ｃ｜
Ａ−Ｂ≧０のとき、
２Ａ＋Ｃ＋｜２Ａ−Ｃ｜
２Ａ−Ｃ≧０のとき、４Ａ
２Ａ−Ｃ＜０のとき、２Ｃ
Ａ−Ｂ＜０のとき、
２Ｂ＋Ｃ＋｜２Ｂ−Ｃ｜
２Ｂ−Ｃ≧０のとき、４Ｂ
２Ｂ−Ｃ＜０のとき、２Ｃ
（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）について、
（Ａ△Ｃ）＋（Ｂ△Ｃ）＋｜（Ａ△Ｃ）−（Ｂ△Ｃ）｜
＝Ａ＋Ｃ＋｜Ａ−Ｃ｜＋Ｂ＋Ｃ＋｜Ｂ−Ｃ｜＋｜Ａ＋Ｃ＋｜Ａ−Ｃ｜−（Ｂ＋Ｃ＋｜Ｂ−Ｃ｜）｜
Ａ−Ｃ≧０、Ｂ−Ｃ≧０のとき、
２Ａ＋２Ｂ＋｜２Ａ−２Ｂ｜
２Ａ−２Ｂ≧０（Ａ≧Ｂ）ならば、４Ａ
２Ａ−２Ｂ＜０（Ａ＜Ｂ）ならば、４Ｂ
Ａ−Ｃ≧０、Ｂ−Ｃ＜０のとき、
２Ａ＋２Ｃ＋｜２Ａ−２Ｃ｜
４Ａ
Ａ−Ｃ＜０、Ｂ−Ｃ≧０のとき、
２Ｃ＋２Ｂ＋｜２Ｃ−２Ｂ｜
４Ｂ
Ａ−Ｃ＜０、Ｂ−Ｃ＜０のとき、
４Ｃ
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）が成り立つのは、
１．（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）＝４Ａのとき
もしくは、
２．（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）＝４Ｂのとき
従って、
１．ａ：Ａ≧Ｂ、２Ａ≧Ｃを満たし、なおかつＡ−Ｃ≧０、Ｂ−Ｃ≧０を満たすとき。
つまり、Ａ≧Ｂ≧Ｃのとき成り立つ。
または、
１．ｂ：Ａ≧Ｂ、２Ａ≧Ｃを満たし、なおかつＡ≧Ｃ、Ｂ＜Ｃを満たすとき。
つまり、Ａ≧Ｃ＞Ｂのとき成り立つ。
もしくは、
２．ａ：Ａ＜Ｂ、２Ｂ≧Ｃを満たし、なおかつＡ≧Ｃ、Ｂ≧Ｃを満たすとき。
つまり、Ｂ＞Ａ≧Ｃのとき成り立つ。
または、
２．ｂ：Ａ＜Ｂ、２Ｂ≧Ｃを満たし、なおかつＡ＜Ｃ、Ｂ≧Ｃを満たすとき。
つまり、Ｂ≧Ｃ＞Ａのとき成り立つ。
◆島根県の高校生 支離滅裂 さんからの解答。
【問題４＋１】
A○B=A□B
2(A+B)=A+B+1
2A+2B=A+B+1
A+B=1
これはA,Bが自然数の範囲では成り立たない。
A△B=A○B
自分の解答を利用した場合
(@)AかBが3または偶数の時
2A=2A+2B
B=0
これはBが自然数の範囲ではない。
(A)AもBも3または偶数の時
4=2A+2B
A+B=1
(B)AもBも3または偶数ではない時
AB=2A+2B
2A+2B-AB=0
これが恒等式と仮定すると…
A(2-B)+2B=0
これよりB=2と0となり矛盾が生じる。
したがってこれは恒等式ではない。
よって、A△B=A○BはA,Bが自然数の範囲では成り立たない。
●別解
(@)A≧Bの時
2A=2A+2B
B=0
これはBが自然数の範囲ではない。
(A)A≦Bの時
2B=2A+2B
A=0
これはBが自然数の範囲ではない。
よって、A△B=A○BはA,Bが自然数の範囲では成り立たない。
Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂ
(@)AかBが3または偶数の時
A+B+1=2A
A-B=1
これはA,Bが自然数の範囲で成り立つ。
(A)AもBも3または偶数の時
A+B+1=4
A+B=3
これはA,Bが自然数の範囲で成り立つ。
(B)AもBも3または偶数でない（つまり3以外の奇数）時
A=2m+1,B=2n+1(m,nは1以外の自然数か0)とすると、
(2m+1)+(2n+1)+1=(2m+1)(2n+1)
2m+2n+3=4mn+2m+2n+1
mn=1/2
これはm,nが1以外の自然数か0の範囲では成り立たない。
従ってA+B+1＝ABは成り立たない。
よって、Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂとなる自然数は存在する。
（AもBも3または偶数以外）
●別解
(@)A≧Bの時
A+B+1=2A
A-B=1
これは成り立つ。
(A)A≦Bの時
A+B+1=2B
B-A=1
これは成り立つ。
よって、Ａ□Ｂ＝Ａ△Ｂとなる自然数は存在する。
【問題４＋２−１】
（Ａ○Ｂ）○Ｃ＝Ａ○（Ｂ○Ｃ）
4A+4B+2C=2A+4B+4C
A=C
従って、（Ａ○Ｂ）○Ｃ＝Ａ○（Ｂ○Ｃ）はA=Cのとき成り立つ。
（Ａ□Ｂ）□Ｃ＝Ａ□（Ｂ□Ｃ）
A+B+C+2=A+B+C+2
となり、成り立つ。
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝Ａ△（Ｂ△Ｃ）
(@)AかBかCが3または偶数の時
2AB=2AB
AB=AB
となって、成り立つ。
(A)AかBかCの内2つが3または偶数の時
4A=4A
A=A
となって、成り立つ。
(B)AもBもCも3または偶数の時
8=8となり、成り立つ。
よって、（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝Ａ△（Ｂ△Ｃ）は成り立つ。
●別解
(@)A≧B≧CでA≧2Bの時
A=Aとなり成り立つ。
(A)A＞B≧CでA＜2Bの時
4A=4B ∴A=B
従って、A=Bのとき成り立つ。
(B)A≦B,B≧Cの時
4B=4B ∴B=B
従って成り立つ。
よって、成り立つ。（A＜2Bの時はA=Bの時のみ）
【問題４＋２−２】
（Ａ○Ｂ）○Ｃ＝（Ａ○Ｃ）○（Ｂ○Ｃ）
4A+4B+2C=4A+4B+8C ∴C=0
よって、C=0の時成り立つ。
（Ａ□Ｂ）□Ｃ＝（Ａ□Ｃ）□（Ｂ□Ｃ）
A+B+C+2=A+B+2C+3 ∴C=-1
よって、C=-1の時成り立つ。
（Ａ△Ｂ）△Ｃ＝（Ａ△Ｃ）△（Ｂ△Ｃ）
AとBうちの少なくてもどちらか一方が3または偶数の時、C=1の時なりたつ。
全て3または偶数の時、成り立つ。
●別解
全て成り立つ。
注：別解は△を『２つのうち大きいほうを２倍する。』と考えているものとする。
◆東京都の小学生 123 さんからの解答。
【問題１】
（1/2＋5）×2＝11
答え,11
【問題２】
6＋Ｘ＋1＝14
Ｘ＝7
◆京都府の高校生 ななし さんからの解答。
【問題４】
△→A+B+|A-B|