◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
積が９になり得るのは、４数が１、３、７、９のときのみ。
この４数のうち２数をかければ、その下１桁は４数のいずれかになるが、下１桁が９になる組み合わせは、
１×９、３×３、７×７。
この４数のうち２数をかけて下１桁が１になる組み合わせは、
１×１、３×７、９×９。
この４数のうち２数をかけて下１桁が３になる組み合わせは、
１×３、７×９。
この４数のうち２数をかけて下１桁が７になる組み合わせは、
１×７、３×９。
従って、
＜１＞１×９
・（１×１）×（１×９）【４個】
・（１×１）×（３×３）【６個】
・（１×１）×（７×７）【６個】
・（３×７）×（１×９）【２４個】
・（３×７）×（３×３）【４個】
・（３×７）×（７×７）【４個】
・（９×９）×（１×９）【４個】
・（９×９）×（３×３）【６個】
・（９×９）×（７×７）【６個】
＜２＞３×３
・（１×３）×（１×３）【既出】
・（１×３）×（７×９）【既出】
・（７×９）×（７×９）【既出】
＜３＞７×７
・（１×７）×（１×７）【既出】
・（１×７）×（３×９）【既出】
・（３×９）×（３×９）【既出】
以上より６４個・・・【答】
【問題２】
Ａの持っているカードを（ａ，ｃ，ｄ，ｆ，ｇ）
Ｂの持っているカードを（ａ，ｂ，ｄ，ｅ，ｇ）
Ｃの持っているカードを（ｂ，ｃ，ｅ，ｆ，ババ）
（ａ〜ｆはすべて異なる２〜９の整数）
と置くことができる。
ババを除くＡ、Ｂ、Ｃのカードの合計は等しい
⇔
ａ＋ｃ＋ｄ＋ｆ＋ｇ＝ａ＋ｂ＋ｄ＋ｅ＋ｇ＝ｂ＋ｃ＋ｅ＋ｆ
⇔
ｃ＋ｆ＝ａ＋ｄ＋ｇ＝ｂ＋ｅ
ここで、（ａ，ｃ，ｄ，ｆ，ｇ）のいずれかが５、
（ａ，ｂ，ｄ，ｅ，ｇ）のいずれかが７であることに注意
すれば、
｛ｃ，ｆ｝＝｛５，９｝かつ｛ａ，ｄ，ｇ｝＝｛３，４，７｝かつ｛ｂ，ｅ｝＝｛６，８｝
よって、
Ａ：３４５７９
Ｂ：３４６８９
Ｃ：５６８９ババ・・・【答】
◆出題者のコメント。
問題１はもう少し簡略化できそうです。
問題２は最善手順っぽいですね。
◆岩手県 utu さんからの解答。
【問題１】
（解１）
題意から、各位の数には、偶数ならびに５は使えない。
よって、各位の数は、１・３・７・９のいずれかである。
以降、十の位以上は、積の下一桁の結果に影響しないので省いて考える。
２桁の場合の積の下１桁について考えると、全部で１６通りあり、
１になるのは、１１・３７・７３・９９
３になるのは、１３・３１・７９・９７
７になるのは、１７・７１・３９・９３
９になるのは、１９・９１・３３・７７
以上、各４通りある。
考えるのは４桁の場合なので、
『上２桁の積×下２桁の積』
というように分けて考えると、積の下１桁が９になるのは、上で書いたとおり４通り。
（すなわち、１９・９１・３３・７７）
したがって、
『上２桁・下２桁の積』・・４通り
『上２桁の積』・・・・・・４通り
『下２桁の積』・・・・・・４通り
以上の選び方があるので、全部で６４個ある。
（感想など）
実はこの結果から、４桁の各位の積が、『１になる』『３になる』『７になる』のすべての場合が、６４個あるということになるのですね。
偶数や５の倍数は使いやすいので、作題のときには重宝するのですが、それ以外の数のほうがいろいろな発見があって面白いとつくづく思います。
（解２）
難しい解き方のほうが、応用が利くかと思って…
使える数が、１・３・７・９であることまでは（解１）と同じ
ここで、１０の剰余を考えるとき、７ではなくて−３、９ではなくて−１と考えることができる。
すなわち使う数は、±１，±３である。
これらを４桁の数として考えるとき、各位の積は、
±１，±３，±９，±２７，±８１
のいずれかである。
このうち、４桁の各位の数の積の１の位が９であることを満たすのは、
＋９，−１，−８１のときである。
『＋９』になるとき
数の選び方は１１３３の並べ替えなので、６通り
符合の選び方は、すべて＋のとき１通り、
すべて−のとき１通り、
＋２個−２個のとき６通りの計８通り
したがって、４８個
『−１』『−８１』になるとき
数の選び方はすべて１のときか、すべて３のときで２通り
符合の選び方は、＋１個−３個のとき４通り、
＋３個−１個のとき４通りの計８通り
したがって、１６個
以上より全部で６４個ある。
【問題２】
●まずジョーカーの所持者から、
Ａは３回引かれて２回引き、２ペア切るので、手札は残らない。
Ｂは２回引かれて３回引き、３ペア切るので、手札は残らない。
Ｃは２回引かれて２回引き、２ペア切るので、１枚残る。
同じ数が４枚残っているとすると、誰かが２枚以上持っていることになるので、これはない。
２から９までのすべてが１ペアずつ残っていた場合、８ペア存在し合計は８８
実際には７ペア存在し、３で割り切れなければならないことから、次のいずれかであることがわかる。
○合計が８４のとき（１人あたり２８で、２のペアがない場合）
×合計が７８のとき（１人あたり２６で、５のペアがない場合、不適）
○合計が７２のとき（１人あたり２４で、８のペアがない場合）
『合計が７２のとき』（１人あたり２４で、８のペアがない場合）
Ａ：５□□□□ Ｂ：７□□□□ Ｃ：Ｊ□□□□Ａは残り４枚の合計は１９。
９を持っていたとすると、残り３枚の合計は１０であるが、適するものがない。
したがってＡは９を持たない。
Ｂは残り４枚の合計は１７。
９を持っていたとすると、残り３枚の合計は８であるが、適するものがない。
したがってＢは９を持たない。
以上より、Ｃが２枚の９を持つことになり不適。
『合計が８４のとき』（１人あたり２８で、２のペアがない場合）
Ｃはジョーカー以外４枚の合計が２８。
９を持っていない場合、最大値は ８＋７＋６＋５＝２６ で不適。
したがって、９を持ち、残り３枚の合計が１９。
残り３枚の中に８を持っていない場合、最大値は ７＋６＋５＝１８ で不適。
したがって、Ｃは８と９を持ち、残り２枚の合計が１１。
すなわち、次のいずれかである。
Ａ：５□□□□ Ａ：５□□□□ Ｂ：７□□□□ Ｂ：７□□□□ Ｃ：Ｊ４７８９ Ｃ：Ｊ５６８９Ｃの持っていない札は、ＡＢが１枚ずつ持っているので、
Ａ：５３６□□ Ａ：５３４７□ Ｂ：７３６５□ Ｂ：７３４□□ Ｃ：Ｊ４７８９ Ｃ：Ｊ５６８９ここで、左のパターンにおいて、Ｂの合計が２８なので、最後の１枚が７となり不適。
Ａ：５３４７９ Ｂ：７３４６８ Ｃ：Ｊ５６８９（またまた感想を）
ババ抜きは地方ルールにも拠りますが、この問題のとおり、
引いてくる → そろえば切る → 次の人に引かせる
のルールのときは、実は、
『引いてくる前の手札が奇数のときより、１枚多くても偶数のときのほうが有利』
であるみたいです。
たとえば、５枚のときより６枚のときのほうが、ペアができる確率は当然高く、しかしながら、あがるまでに切るべきペアの数は同じ３ペアなのです。
極端な話、最後１枚だけになったときは、手札と同じ物を引いてくる以外、上がれませんが、２枚残っている場合は、どちらかと揃えば、それを切り、もう１枚は次の人が引くので上がれます。
２枚ずつ減るというルールに隠された、ちょっとしたトリビア？
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
積が９になり得るのは、各位が５でない奇数、即ち１、３、７、９の４種に限られる。
これらは１０を法として表すと ±１と±３である。
最初の３桁にこれら４種を任意に使うとき、その３桁の積は、
３×３≡−１であるから、±１か±３である。
従って、３桁の積が＋１のときは４桁目に−１、−１のときは＋１、３のときは３、−３のときは−３を用いる
ことにより、
必ずかつ唯一 ４桁の積を−１≡９ にすることができる。
よって、組合せの数は上位３桁の組合せ数 ４×４×４＝６４ である。