◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
ｎ＝２５
問題には明記されていないが、確率１／２以外の目の確率は等しいとする。
即ち ｑ=1/2 とするとき その他の確率は
ｐ＝（１−ｑ）／５=１／１０ である。
確率１／２のものの決め方は、ｎ回ふって最も多いものとする。
ただし同点の場合は早く到達した方とする(*)。
このときの信頼度は下式である。
ここでT1は１位タイの目の数である。
この式の値が０．９９以上であればよい。
この式をｎの一般式で表すのは無理そうなのでPCによった。
なお、計算プログラムは確実に計算するため素直に次のアルゴリズムとした。
注）
If(L,T,F)はL=trueのときＴ値 falseのときＦ値
Ｉ∈i1..i2は for I=i1 to i2
Floor(X)=[X] である。
(*)一番多いのが1/2の物とする決め方が最もｎを小さくする方法かどうかは自明ではない。
ｎをより小さくするためにはたとえば i5=10個 i6=9個のときも９個の方が1/2の方であるという判断基準が必要である。
しかし、連続的に出るとかでこれを救済したとしても、逆にi5=9個 i6=10個のときにより高い率で発生する同じ並びのものを捨てることになり、総合で得ではない。
【問題２】
ｎ＝２６
問題には明記されていないが、確率１／２と１／３以外の目の確率は等しいとする。
また「これらの数がなにか」の表現はどちらが1/2かは問わないの意味とします。
よって、ｑ=1/2 r=1/3 とするとき その他の確率は
ｐ＝（１−ｑ−ｒ）／４=１／２４ とします。
確率１／２ １／３のものの決め方は、ｎ回ふって最も多いものから２つとする。
ただし同点の場合は早く到達した方とする。
このときの信頼度は下式である。
ここでT1は１位タイの目の数、T2は２位タイの目の数である。
この式の値が０．９９以上であればよい。
この式をｎの一般式で表すのは無理そうなのでPCによった。
なお、計算プログラムは確実に計算するため素直に次のアルゴリズムとした。
【問題２ 判別つきの場合】
ｎ＝１６０
確率1/2 1/3のものを判別する場合も計算しておこう。
この場合、素直なアルゴリズムでは計算に時間がかかるので、基本式を下記に書き換え、
これを次の形で計算する。
ここでのＴはimaxに等しいi1〜i4の数＋１である。
またＫはi1〜i4の目のパターンにより決まる数であり、
出た数の多い順にその数を（Ｋ1 Ｋ2）とするとき
Ｋ＝２４／（Ｋ1！Ｋ2！）である。
具体的にはK(4,0)=1 K(3,1)=4 K(2,2)=6 K(2,1)=12 K(1,1)=24
関数Zは主に２次元(m,imax)の関数であって、論理値Lにより２種ある。
なお、 imax＞mのときＺ＝ｐｍ、imax＜m /４のときＺ＝0である。
Ｚを予め必要と推定される部分で求めておくことにより、高速化される。
ｍおよびｉｍａｘ（≦ｍ）としては、１／２ と １／３ の確率のもののみで考えたときのｎの最小値１３３が、割合で５／６になる１５９．６＋α程度までを計算しておけばよい。
２００まで計算しておいたが、答えは１６０であり、殆ど1/2と1/3のものの順位付けで決まっているようである。
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisan さん、すごいです。
この問題と一円玉の問題。どちらも私の想像を遙かに超えています。
まず、謝らなくてはいけないことがあります。Y.M.Ojisan さんも気がついたとおり、
「問題には明記されていないが、確率１／２以外の目の確率は等しいとする。」
の部分が抜けていました。申し訳ありません。
もっというと、私はこの条件にはふれなくても、さらに一般的な場合において解法を示してくださると考えていました。
つまり、この部分は私としては意図的に抜かしたところです。
しかし、Y.M.Ojisan さんが示したようにこの問題実際に計算しようとすると、簡単にはすまないようですね。
本当にすごいと思います。
◆富山県 萩の葉 さんからの解答（質問）。
【問題１】
２５回
最初1/2の目が２回以上出る確率が99%以上になればよいと考え、
1/2の目が２回未満出る確率(n+1)*(1/2)nが１％未満になるのはｎ=11
11回振ればよいと思ったのですが、Y.M.Ojisan氏の解答を見て・・・！！！
確かに11回では残りの1/10の目の内の一つが２回以上出る確率が30.264%にもなってしまい、これでは判断がつかない・・・
そこでｎ回振った時1/2の目がｍ回以上出る確率が99%を超え、しかも1/10の目がｍ回以上出る確率が１％未満となるようなｎをExcelを使って探しました。
Excelの設定はうまく説明できないのですが、たとえば1/10の目をaとすると
| Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | |
| １回振った時 | ２回振った時 | ３回振った時 | ||
| １ | aが０回出る | 9/10 | B1*9/10 | C1*9/10 |
| ２ | aが１回出る | 1/10 | B1*1/10+B2*9/10 | C1*1/10+C2*9/10 |
| ３ | aが２回出る | B2*1/10 | C2*1/10+C3*9/10 | |
| ４ | aが３回出る | C2*1/10 |
という感じです。
たとえば２２回振ると1/2の目が６回以上出る確率は99%以上となるのですが、1/10の目が６回以上出る確率が１％を超えてしまう。
２５回振った時初めて、1/2の目が７回以上出る確率が99%以上、99.268%となり、しかも1/10の目が７回以上出る確率が１％未満、0.948%となる。
「２５回！」これはいけると勇気百倍・・・
【問題２】
１８９回 同じ方法で1/2と1/3の目を識別すべく、ｎ回振った時1/2の目がｍ回出る確率が99%を超え、しかも1/3の目がｍ回出る確率が１％未満となるようなｎをExcelを使って探しました。
すると１５９回振った時には1/2の目が６５回以上出る確率が99%以上となるのですが、1/3の目が６５回以上出る確率が１％を超えてしまう。
同様に１６１回振った時にも1/2の目が６６回以上出る確率が99%以上となるのですが、1/3の目が６６回以上出る確率が１％を超えてしまう。
１８９回振った時に初めて1/2の目が７９回以上出る確率が99%以上の99.016%となり、しかも1/3の目が７９回以上出る確率が１％未満の0.919%となる。
「１８９回？」私はどこで間違えたのでしょうか？
「99%以上の確率で、ある目を特定できる」という部分の解釈が違うのでしょうか？
Y.M.Ojisan氏の解答は難しすぎて全くわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
萩の葉 さん の方法は下図の緑の領域を判定できる領域として計算していることになります。
即ち、判定可能な黄色の部分を損しています。
一方、緑の領域の確率は９９％ではなく、９９％×９９％＝９８％です。
問題１ではその状況がうまく相殺し、問題２では黄色の部分が１％より少し多いため、結果が違ってきたわけです。
どちらもｍ回より多かったり、少なかったりしたときどうするのか等のルール設定が不明なので、このようなコメントとしましたが、違っていればまた質問ください。
