) ３
p3◆山梨県 Footmark さんからの解答。
△ＡＯＣと△ＡＢＣと△ＡＤＣは３辺が等しいので合同です。
△ＢＯＤと△ＢＡＤと△ＢＣＤも３辺が等しいので合同です。
よって、△ＡＯＣと△ＢＯＤは合同で、直角２等辺三角形です。
しかも、この２つの三角形はどちらも底面に垂直です。
さらに、この２つの三角形同士はお互いに直交しています。
正四角錐Ｏ-ＡＢＣＤの体積は明らかに
| (６*６)(３) ３ |
p3＝３６p3 |
点Ｐと点Ｂは与えられているので、点Ｑの位置さえ決まれば点Ｒの位置も一意に決まります。
（何故なら、直線上にない３点を含む平面は１つしかない）
線分ＯＱの長さを Ｍp とし、その時の線分ＯＲの長さを Ｎp とします。
（ただし、０＜Ｍ≦６）
また、明らかに線分ＯＰの長さは ４p です。
四角錐Ｏ-ＰＢＱＲの体積Ｖは、△ＡＯＣの面で切断して、
| 底面積が | ４Ｍ ２ |
の２つの三角錐を合わせたものと考えると、 |
| それぞれの高さは、 | ６ |
と | Ｎ |
です。 |
| ∴ Ｖ＝ | ２Ｍ(Ｎ＋６) ３ |
△ＢＯＤの面で切断して、
| 底面積が | ６Ｎ ２ |
の２つの三角錐を合わせたものと考えると、 |
| それぞれの高さは、 | ４ |
と | Ｍ |
です。 |
| ∴ Ｖ＝ | (Ｍ＋４)Ｎ |
| ∴ | ２Ｍ(Ｎ＋６) ３ | ＝ | (Ｍ＋４)Ｎ |
| ∴ Ｎ＝ | １２Ｍ Ｍ＋１２ |
そこで、四角錐Ｏ-ＰＢＱＲの体積Ｖを Ｍ だけで表すと
| Ｖ＝ | １２Ｍ(Ｍ＋４) (Ｍ＋１２) |
【問題１】
明らかに Ｍ＝２ なので、これをＶの式に代入すると
| Ｖ＝ | ３６ ７ |
【答え】
| ３６ ７ | p3 |
【問題２】
正四角錐Ｏ-ＡＢＣＤの体積の半分は、１８ ですから、
| １２Ｍ(Ｍ＋４) (Ｍ＋１２) | ＝１８ |
∴ Ｍ2＋Ｍ−３６＝０
これを解くと、
ところが Ｍ＞０ なので、
【答え】
p
{Ｐ・Ｓ}
中学生の幾何では名問題だと思います。
◆出題者のコメント。
正解です。
このような解法を待っていました。
これだと中学生でも解答できる手法ですね。
本問題はＰ，Ｑが中点の時、Ｒの位置を求める問題の改良でした。
底面の中心をＳとする時、ＯＳ，ＢＲ，ＰＱは一点で交わります。
これを用いてＲの位置を定めて、体積を求めるというのが私が持っている解答でした。
その解答に比べて、Footmarkさんの解答は実に簡潔でよいと思います。