『四角錐の体積』解答


◆山梨県 Footmark さんからの解答。

△AOCと△ABCと△ADCは3辺が等しいので合同です。
△BODと△BADと△BCDも3辺が等しいので合同です。

よって、△AOCと△BODは合同で、直角2等辺三角形です。
しかも、この2つの三角形はどちらも底面に垂直です。
さらに、この2つの三角形同士はお互いに直交しています。

正四角錐O-ABCDの体積は明らかに
(6*6)(3)
p3=36p3

点Pと点Bは与えられているので、点Qの位置さえ決まれば点Rの位置も一意に決まります。
(何故なら、直線上にない3点を含む平面は1つしかない)

線分OQの長さを Mp とし、その時の線分ORの長さを Np とします。
(ただし、0<M≦6)

また、明らかに線分OPの長さは 4p です。

四角錐O-PBQRの体積Vは、△AOCの面で切断して、
底面積が 4M
の2つの三角錐を合わせたものと考えると、
それぞれの高さは、

です。

∴ V= 2M(N+6)

△BODの面で切断して、
底面積が 6N
の2つの三角錐を合わせたものと考えると、

それぞれの高さは、

です。

∴ V= (M+4)N

∴  2M(N+6)
(M+4)N

∴ N= 12M
M+12

そこで、四角錐O-PBQRの体積Vを M だけで表すと
V= 12M(M+4)
(M+12)

【問題1】

明らかに M=2 なので、これをVの式に代入すると
V= 36
(これは元の正四角錐O-ABCDの体積の7分の1にあたります。)

【答え】

36
p3

【問題2】

正四角錐O-ABCDの体積の半分は、18 ですから、
12M(M+4)
(M+12)
=18

∴ M2+M−36=0

これを解くと、

ところが M>0 なので、

【答え】

 p

{P・S}

中学生の幾何では名問題だと思います。


◆出題者のコメント。

正解です。
このような解法を待っていました。
これだと中学生でも解答できる手法ですね。

本問題はP,Qが中点の時、Rの位置を求める問題の改良でした。
底面の中心をSとする時、OS,BR,PQは一点で交わります。
これを用いてRの位置を定めて、体積を求めるというのが私が持っている解答でした。

その解答に比べて、Footmarkさんの解答は実に簡潔でよいと思います。


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