『長さの総和』解答


◆大阪府 macsyma2e さんからの解答。

x=|sin(nπx)| and 0≦x≦1 なる x を
小さい順に x1,...,x2n

更に

y= 2k-1
2n
 and y≦|sin(nπx)| and  k-1
n
≦x≦ k
n
なる線分の長さ=f(k)

とおくと、

0<x2-x1,x2n-x2n-1 1
n
 and f(k+1)<x2k-x2k-1<f(k-1)
for all k in { 2,...,n-1 }

が成り立つので、

lim
n→∞
L
 × lim
n→∞
n
Σ
k=1
( x2k-x2k-1)

π
× lim
n→∞
n
Σ
k=1
f(k)×
n

π
× π

0
sin(x) dx

π


◆出題者のコメント

macsyma2eさん、解答ありがとうございました。
見事正解です。
厳密性には欠けますが、次のようにすぐに答えを得る方法もあります。

O(0,0), A( 1
n
,0), B( 1
n
,1), C(0,1)と定める。

題意の長さの和は、次のように考えてよい。

「n本の線分S(k){(x,y): y=x+ k
n
, 0≦x≦ 1
n
}(k=0,1,・・・,n-1) の
y≦|sin(nπx)|を満たす部分の長さの和」

nが十分大きいときn本の線分は長方形OABCのほとんどすべての部分を通るので、
S(k)のy≦|sin(nπx)|の部分の長さの和と、(0,0)および(1,1)を両端とする線分の長さの比は、
長方形OABCのy≦|sin(nπx)|の部分の面積Sと長方形OABCの面積の比にほとんど等しいと考えられる。

長方形OABCの面積は1
n
        
S1 1/n

0
sin(nπx)dx=2
であるから、

求める極限値は

(0,0)、(1,1)を両端とする線分の長さ× S1
OABCの面積

π
  ・・・(答)


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