◆大阪府 macsyma2e さんからの解答。
x=|sin(nπx)| and 0≦x≦1 なる x を
小さい順に x1,...,x2n
更に
y= | 2k-1 2n | and y≦|sin(nπx)| and | k-1 n | ≦x≦ | k n |
とおくと、
0<x2-x1,x2n-x2n-1< | 1 n | and f(k+1)<x2k-x2k-1<f(k-1) |
が成り立つので、
lim n→∞ |
L |
= | × | lim n→∞ |
n Σ k=1 | ( x2k-x2k-1) |
= | π | × | lim n→∞ |
n Σ k=1 | f(k)× | nπ n |
= | π | × | π ∫ 0 |
sin(x) dx |
= | π |
◆出題者のコメント
macsyma2eさん、解答ありがとうございました。
見事正解です。
厳密性には欠けますが、次のようにすぐに答えを得る方法もあります。
O(0,0), A( | 1 n | ,0), B( | 1 n | ,1), C(0,1)と定める。 |
「n本の線分S(k){(x,y): y=x+ | k n | , 0≦x≦ | 1 n | }(k=0,1,・・・,n-1) の |
nが十分大きいときn本の線分は長方形OABCのほとんどすべての部分を通るので、
S(k)のy≦|sin(nπx)|の部分の長さの和と、(0,0)および(1,1)を両端とする線分の長さの比は、
長方形OABCのy≦|sin(nπx)|の部分の面積Sと長方形OABCの面積の比にほとんど等しいと考えられる。
長方形OABCの面積は | 1 n |
、 |
S1= | 1/n ∫ 0 |
sin(nπx)dx= | 2 nπ |
であるから、 |
求める極限値は
(0,0)、(1,1)を両端とする線分の長さ× | S1 OABCの面積 |
= | π |
・・・(答) |