『存在位置の確率』

『存在位置の確率』解答

◆宮城県　甘泉法師さんからのコメント。

より簡単な１次元の場合

数直線上　x、ステップs　での存在確率　P(s;x)
最初原点に存在する。P(0;0)＝１。
他のsとxでは　P(s;x)＝０。　

次のステップで左右で半々の確率で１移動。

P(s+1;x)＝ 1
2 *P(s;x-1)+ 1
2 *P(s;x+1)
１項は下隣からくるもの、２項は上隣からくるもの

この関係式からえられたステップ５までのP(s;x)を表にあらわす。

x＼s 0 1 2 3 4 5

0 1 0 1/2 0 3/8 0

1 0 1/2 0 3/8 0 5/16

2 0 0 1/4 0 1/4 0

3 0 0 0 1/8 0 5/32

4 0 0 0 0 1/16 0

5 0 0 0 0 0 1/32

対称なのでマイナスのｘについては省略。

次に捕まえるトラップを考える

T(x)＝０　xにトラップがある場合
T(x)＝１　xにトラップがない場合

P(s+1;x)
＝ 1
2 *P(s;x-1)*T(x-1)+ 1
2 *P(s;x+1)*T(x+1)+P(s;x)*(1-T(x))

最後の項はトラップにつかまったままであることを表す。

たとえばx＝-3，3にトラップがある場合のP(s;x)の表は

x＼s 0 1 2 3 4 5

0 1 0 1/2 0 3/8 0

1 0 1/2 0 3/8 0 9/32

2 0 0 1/4 0 3/16 0

3 0 0 0 1/8 1/8 7/32

4 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0

【コメント】

２次元格子の場合に拡張するのは

P(s+1;x,y)
＝ 1
4 *P(s;x-１,y)+ 1
4 *P(s;x+１,y)+ 1
4 *P(s;x,y-１)+ 1
4 *P(s;x,y+１)

とすればいいので簡単ですが、六角形の場合点の名まえのつけかたにてこずっています。

◆宮城県　甘泉法師さんからの解答。

原点を中心に 1
12 の中心角できったピースについて次のように点に番号をつける。

ステップｓ後の点（ｍ，ｎ）の存在確率をP(s；m,n）とあらわす。

P(s;m,n)　=　0　　n＜0　または　m＞n　または　mとnの偶奇がことなる場合

P(0;m,n)　=　1 （m,n)=(0,0)の場合

= 0 その他のm、n

P(s+1;m,n)
= 1
6 *P(s;m-1,n-1)*G(m,n;m-1,n-1)+ 1
6 *P(s;m-1,n+1)*G(m,n;m-1,n+1)+ 1
6 *P(s;m,n-2)*G(m,n;m,n-2)+ 1
6 *P(s;m,n+2)*G(m,n;m,n+2)+ 1
6 *P(s;m+1,n-1)*G(m,n;m+1,n-1)+ 1
6 *P(s;m+1,n+1)*G(m,n;m+1,n+1)

ここでGとFは図形の対称性を使い他のピースからの寄与をいれた係数で

G(i,j;k,l)=６、 (i,j)＝(0,0)
G(i,j;k,l)=２、(i,j)が(0,0)を除く境界線上にあり、(k,l)が同じ境界線上にない
G(i,j;k,l)=１、その他の場合

F(m,n)　 = 2、(m,n)=(1,1)
F(m,n)　 = 1、m≠1かつn=1
F(m,n)　 = 0、その他の場合

さらにそこに行けばつかまる罠（トラップ）をおくことを考え,上の漸化式の各項に係数をかける。

P(s+1;m,n)
= 1
6 *P(s;m-1,n-1)*G(m,n;m-1,n-1)*T(m-1,n-1) + 1
6 *P(s;m-1,n+1)*G(m,n;m-1,n+1)*T(m-1,n+1)+ 1
6 *P(s;m,n-2)*G(m,n;m,n-2)*T(m,n-2)+ 1
6 *P(s;m,n+2)*G(m,n;m,n+2)*T(m,n+2)+ 1
6 *P(s;m+1,n-1)*G(m,n;m+1,n-1)*T(m+1,n-1)+ 1
6 *P(s;m+1,n+1)*G(m,n;m+1,n+1)*T(m+1,n+1)+ 1
6 *P(s+1;m,n)*F(m,n)*T(m,n)+ 1
6 *P(s;m,n)*F(m,n)*{1-T(m,n)}