◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
８個の玉から３個を選ぶ組み合わせは
8Ｃ3＝５６（通り）
８個の玉を重い順にＡＢＣＤＥＦＧＨとします。
（１）３個を選ぶとき、必ずＡを選ぶと考えると、
7Ｃ2＝２１（通り）・・・残り２個の選び方
| その確率は | ２１ ５６ | ＝ | ３ ８ |
（２）３個を選ぶとき、必ずＡ、Ｂを選ぶと考えると、
6Ｃ1＝６（通り）・・・残り１個の選び方
| その確率は | ６ ５６ | ＝ | ３ ２８ |
| （３）同様にして、 | １ ５６ |
●３個の玉で重さが１番であった玉が８個の玉で２番である確率
Ｂは必ず取り、Ｃ〜Ｈの６個から２個を取る選び方なので、
6Ｃ2＝１５（通り）
| 確率は | １５ ５６ |
●３番である確率
Ｃは必ず取り、Ｄ〜Ｈの５個から２個を取る選び方なので、
5Ｃ2＝１０（通り）
| 確率は | １０ ５６ | ＝ | ５ ２８ |
以下同様に
●４番である確率
| 4Ｃ2 ５６ | ＝ | ６ ５６ | ＝ | ３ ２８ |
●５番である確率
| 3Ｃ2 ５６ | ＝ | ３ ５６ |
●６番である確率
| 2Ｃ2 ５６ | ＝ | １ ５６ |
【問題２】
●Ｒ個の玉で重さが１番〜ｐ番を占めたｐ個の玉が、Ｎ個の玉でも同じ順位を占める確率
※上の文は「ｐ個の玉のみが」ではないものとして、解きます。
Ｎ個の玉からＲ個を選ぶ組み合わせは、
NＣR 通り
Ｎ個の玉を重い順にＡ1,Ａ2,Ａ3,Ａ4,・・・ＡN とします。
Ｒ個の玉を選ぶとき、Ａ1〜Ａp は必ず選び、
残りＲ−ｐ個を Ａp+1〜ＡN のＮ−ｐ個から選ぶと考えると、その組み合わせは、
N-pＣR-p （通り）
| 確率は、 | N-pＣR-p NＣR |
●Ｒ個の玉で重さが１番であった玉が、Ｎ個の玉でｑ番である確率
Ａq は必ず取り、Ａq+1〜ＡN のＮ−ｑ個からＲ−１個を取ると考えると、その組み合わせは
N-qＣR-1 （通り）
| 確率は、 | N-qＣR-1 NＣR |
◆出題者のコメント。
【問題１】【問題２】とも、みごと正解です。
必要にして十分な模範解答だと思います。
パスカルの三角形で見てみると以下になります。
【問題１】を例にしています。
以下は、ヨッシー さんの模範解答を参照してください。
上の 56(＝NＣR) が求める確率の分母になります。
21(＝N-1ＣR-1) から左上に 21,06,01 ですが、これが、３個での１番まで,２番まで,３番までが、８個でも同順位になるそれぞれの確率の分子になります。
21(＝N-1ＣR-1) から右上に 21,15,10,06,03,01 ですが、これが、３個での１番が８個で１番〜６番になるそれぞれの確率の分子になります。
なお、パスカルの三角形の１番上の 01 は 0Ｃ0 ですが、
Ｒ＝１ やＲ＝Ｎ の時に使用します。
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題２−２】
Ｎ個の玉からＲ個を選ぶ組み合わせは、
NＣR 通り。
Ｎ個の玉を重い順にＡ1,Ａ2,Ａ3,Ａ4,・・・ＡN とします。
●Ｒ個の玉で重さがｐ番であった玉が、Ｎ個の玉でｑ番である確率
Ａq は必ず取り、Ａ1〜Ａq-1 のｑ−１個から、ｐ−１個取り、
Ａq+1〜ＡN のＮ−ｑ個からＲ−ｐ個を取ると考えると、その組み合わせは
q-1Ｃp-1・N-qＣR-p （通り）
| 確率は、 | q-1Ｃp-1・N-qＣR-p NＣR |
◆出題者のコメント。
完璧です！
ヨッシー さんには易しすぎたかも・・
【問題２−２】は【問題２】の後半をさらに一般化させたものです。
無理矢理パスカルの三角形で見てみると以下になります。
一般化すると 0Ｃ0 は ｑ＝１ や ｑ＝Ｎ の時に使用します。
【問題１】を例にしています。
上の 56(＝8Ｃ3) が求める確率の分母になります。
21(＝8-1Ｃ3-1) から
左上に 21,06,01 、
右上に 21,15,10,06,
03,01 ですが、
それらとそれらに挟まれている上側のすべての数字を使用します。
この中でお互いにすぐ右上やすぐ左下にある数字同士を結んで１つのグループにします。
グループの数は３個(＝Ｒ)で、各グループの要素の数は６個(＝Ｎ−Ｒ＋１)です。
そこで、左からと右からのそれぞれｐ番目(１≦ｐ≦３(＝Ｒ)）に当たる２個のグループの各要素同士を掛けます。
ただし、左からのグループの各要素は上から、右からのグループの各要素は下から掛けます。
結果のグループの各要素こそが、３個(＝Ｒ)でｐ番だった玉が８個(＝Ｎ)で
ｐ番,ｐ＋１番,・・,８−３＋ｐ(＝Ｎ−Ｒ＋ｐ)番になる各々の確率の分子になります。
３個で１番の玉 (01,01,01,01,01,01)X(21,15,10,06,03,01)=(21,15,10,06,03,01) ３個で２番の玉 (01,02,03,04,05,06)X(06,05,04,03,02,01)=(06,10,12,12,10,06) ３個で３番の玉 (01,03,06,10,15,21)X(01,01,01,01,01,01)=(01,03,06,10,15,21)【余談】
【問題２】の結果を利用すると、シードも含めて抽選で決めたようなトーナメント戦では、途中まで勝ち残った者が大会で優勝する確率が容易に計算できます。
ただし、いつの状態でも勝ち残っている者同士の強さがまったく不明であることが条件です。
また、シードがあった場合は対戦者同士の勝率は必ずしも
| １ ２ | ずつにはなりません。 |
上の場合、
| 左の対戦者の勝率＝ | 7-1Ｃ4-1 7Ｃ4 |
| 右の対戦者の勝率＝ | 7-1Ｃ3-1 7Ｃ3 |
左と右の対戦者がそれぞれＨ人,Ｍ人の内で１番とし式を変形すると、 対戦する２人の勝率は以下になります。
| 左の対戦者の勝率＝ | Ｈ Ｈ＋Ｍ |
| 右の対戦者の勝率＝ | Ｍ Ｈ＋Ｍ |