)k-(3-2*)k)4*
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
REM A(N)^2 は三角平方数
OPTION BASE 0
DIM A(5)
FOR N=1 TO 2005
IF N=20 OR N=2005 THEN
LET A(1)=2*N-1
LET X=A(1)^2
LET E=(-1+SQR(4*N^2-4*N+8*X+1))/2
PRINT N;"+・・+";E;"=";X;"=";A(1);"^2"
FOR K=2 TO 5
LET A(K)=6*A(K-1)-A(K-2)
LET X=A(K)^2
LET E=(-1+SQR(4*N^2-4*N+8*X+1))/2
PRINT N;"+・・+";E;"=";X;"=";A(K);"^2"
NEXT K
PRINT
END IF
NEXT N
END
20 +・・+ 58 = 1521 = 392
20 +・・+ 331 = 54756 = 2342
20 +・・+ 1930 = 1863225 = 13652
20 +・・+ 11251 = 63297936 = 79562
20 +・・+ 65578 = 2150269641 = 463712
2005 +・・+ 6013 = 16072081 = 40092
2005 +・・+ 34076 = 578594916 = 240542
2005 +・・+ 198445 = 19688299225 = 1403152
2005 +・・+ 1156596 = 668855722896 = 8178362
2005 +・・+ 6741133 = 22721438423401 = 47667012
| F(n,k)= | (2*n-1)*((3+2*)k-(3-2*)k) 4* |
ｎから始まる連続するｍ個の自然数の和が平方数になる場合のｍは、
| n+・・・・+(n+m-1)=( | (2*n-1)*((3+2*)k-(3-2*)k) 4* |
)2 |
| ｍ= | (2*n-1)*((3+2*)k+(3-2*)k)+2 4 | -n |
となりました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
ｎから始まる連続するｍ個の自然数の和が平方数になる場合
| m=(2*n-1)* | (3+2*)k+(3-2*)k-2
4 |
、n,kは任意の自然数。 |
n+・・・+(n+m-1)
| = | m*(n+(n+m-1))
2 |
| =( | (2*n-1)*((3+2*)k-(3-2*)k 4* |
) | 2 |
(3+2*)*(3-2*)=1
追伸
| m=(2*n-1)*( | (+1)k-(-1)k 2 |
) | 2 |
この表現がシンプルでしょうか？。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】 sum(２０〜５８）＝３９2
【問題２】 sum(２００５〜６０１３）＝４００９2
【問題３】 ペル方程式に帰着される。
| ∵ 項数をｍとすれば合計は | ｍ（２ｎ＋ｍ−１） ２ | であり、 |
Ｘ2−２Ｙ2＝−１であれば必ずｍは整数である。
Ｘ＝Ｙ＝１は解の一つであり 問題１，２の解はこの場合である。
今、
Ｘ１＝Ｙ１＝１
Ｘｎ＋１＝３Ｘｎ＋４Ｙｎ
Ｙｎ＋１＝２Ｘｎ＋３Ｙｎ
なる数列を考える。代入して計算すると
Ｘｎ＋１2−２Ｙｎ＋１2＝Ｘｎ2−２Ｙｎ2＝。。。。＝Ｘ１2−２Ｙ１2＝−１
である。
よって無限のＸ，Ｙの組が存在する。
これより ｍ＝(２ｎ−１)Ｘ2 である。
少し Ｘｎ2 を計算すると次の数列が得られる。
| 1 | 49 | 1681 | 57121 | 1940449 | 65918161 | 2239277041 |
【蛇足】
ｎが特殊な値であれば Ｘ2−２Ｙ2＝−１は必ずしも必要ではない。
ｎ＝４ならば２ｎ−１は７であるから−７でもよい。
このときＸ＝５ Ｙ＝４は解であり、ｍ＝２５である。
すなわち sum(４〜２８）＝２０2 である。
この場合も同じ漸化式により無限に作成でき、次は Ｘ＝３１である。
また、ｎはＭＯＤ ７で４であればよいので ｎ＝１１とすれば、
ｍ＝２８８３ sum(１１〜２８９３）＝２０４６2 である。