『数学の美しさ』解答

◆埼玉県の高校生　田沼　和泰 さんからの解答。

これは、中三の時に某ＳＨ高校の過去問をといてて考えた定理です。

長方形（これは正方形も含む）ＡＢＣＤが存在する平面上で、勝手な点Ｐを作ったとき、

AP²+CP²=BP²+DP²

である。

●証明

今、正方形ABCDが、Aを左上に、反時計回りで存在する。
この正方形の左上に、勝手な点Pを置く。

そして、Pとそれぞれの点を線分で結ぶ。
Pを通り、線分ABに平行な直線ｌを描き、また、線分DAを延長し、直線ｌと交わる点をQ、線分CBを延長し、直線ｌと交わる点をRとする。

すると、

AP²=PQ²+QA²、
BP²=PR²+RB²、
CP²=PR²+RC²、
DP²=PQ²+QD²となる。

よって、AP²+CP²=BP²+DP²は、

(PQ²+QA²)+(PR²+RC²)=(PR²+RB²)+(PQ²+QD²)

ところで、QA=RB、QD=RCなので、それらをu,vとすると、

(PQ²+u²)+(PR²+v²)=(PR²+u²)+(PQ²+v²)となり、
両辺が等しくなるので、
AP²+CP²=BP²+DP²

[Q.E.D]

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