◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
解答問題の範囲を一度広げてから、再度別方向から絞り込む方法は数学の常套手段ですが、その中でも特に美しいものにラグランジュの未定定数法があります。
一般的に書くと、ありがたみが曖昧になるので、具体的に簡単な場合を挙げておきます。
Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ2＋ｙ2−２=0の条件で
Ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ の極大値をもとめる
この場合 y=√(2-x2) と解き、Ｆ（ｘ，ｙ）に代入するのが正攻法ですが，ラグランジュの未定定数法では以下になります。
（１）Ｈ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）-Λ×Ｇ（ｘ，ｙ）を作成する。
（２）Ｈ（ｘ，ｙ）の極大値を Λをパラメータとして
dH/dx=0 dH/dy=0 で簡単に解き
x=1/Λ=y を得る。
（３）これをＧに代入し 2/Λ2-2=0を解いて
極大点x=y=1/Λ＝１を得て、極大値４を得る。