◆東京都 サボテン さんからの解答。
1)
| n-1 Σ l=1 |
lp | = | p+1 Σ m=0 |
km*nmより、 |
| n Σ l=1 |
lp | = | p+1 Σ m=0 |
km*nm+ np ・・・(*) |
| 一方 | n Σ l=1 |
lp | は | p+1 Σ l=0 |
kp*nlに(n+1)を代入したものとみなせる。 |
| n Σ l=1 |
lp= | p+1 Σ l=0 |
kl*(n+1)l= | p+1 Σ l=0 |
kl | l Σ m=0 |
lCm*nm |
和の順序を入れ替えて
| p+1 Σ m=0 | p+1 Σ l=m |
kl*lCm*nm・・・(**) |
(*)と(**)のnmの項を見比べると、
・m=p+1 の時 kp+1=kp+1
・m=p の時 kp+1=kp+kp+1*p+1Cp
p+1Cp=p+1C1よりp+1C1*kp+1=1・・・(1)
・それ以外
| km= | p+1 Σ l=m |
kl*lCm |
| = | p+1 Σ l=m |
kl*lCl-m |
| = | p+1 Σ l=m+1 |
kl*lCl-m+km |
| よって | p+1 Σ l=m+1 |
kl*lCl-m=0・・・(2) |
| (*)にn=1を代入すると、 | p+1 Σ m=0 |
km=0 |
| 一方(2)でm=0を代入すると、 | p+1 Σ m=1 |
km=0 |
| 2)Ｋq＝kp-q* | (p-q)! p! |
で定義すればよい。 |
| 3)1)の問題で(1)より、kp+1= | 1 p+1 |
・・・(3) |
| p+1 Σ l=m+1 |
kl*lCl-m= | p Σ l=m+1 |
kl*lCl-m+ | p! [m!(p+1-m)!] |
=0 |
| kq= | p! q! |
*Kp-qを代入すると、 |
| p Σ l=m+1 |
Kp-l* | l! [m!(l-m)!] |
* | p! l! | + | p! [m!(p+1-m)!] |
=0 |
整理して
| 1 (p+1-m)! | + | p Σ l=m+1 |
Kp-l (l-m)! |
=0 |
| 1 (1+M)! | + | M Σ l=1 |
KM-l l! |
=0 |
これは問題文の与式である。