×χ◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
条件が良く分からないのですが、ＡＯＣＢが長方形になると仮定していいのかな。
半径＝対角線で7.2p
(30秒くらい)
【問題２】
ＡＱの中点をＬとすれば、ＡＰ//ＢＱでないとき
△ＬＭＮはＬＭ＝ＬＮ＝1/2なる二等辺三角形。
故にＮＭは1/2＋1/2より小さい。
従って、ＡＰ//ＢＱのとき最大値１をとる。
ちょっと大ざっぱな解答？
図を書いた時間を入れても、５分はかかっていないはず。
【問題３】
【問題３】は条件不足なのでは？
Ｄが定まらないような？？？
【問題４】
うーん………。パス。
(すでに15分経過)
【コメント】
問題１は三平方の定理を使った人はいないでしょうか。
◆広島県 清川 育男 さんからのコメント。
【問題１】
半径が７．２ｃｍとすると、
７．２−３．４＝３．８
３．８2＋６．５2＝５６．６９
７．２2＝５１．８４
ピタゴラスの定理が成り立ちません。
∠AOCは９０度とは言ってないので問題はないですが。
数字の設定に間違いが？
【コメント】
問題の修正が難しいですね。
長方形を仮定したらまずいし、でもＡＣ＝ＢＯを仮定するのもあんまりだしねぇ。
問題の不備のようなので、ここで追究をやめましょう。
◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからのヒント。
出題者としてヒントを少々、条件不足との回答がきたようなので。
ちなみに僕の学校では全部後輩の中学生の方が早く解いてしまった・・・、くやしかったですね。
中学生の回答を楽しみにしています。
３０分考えて分からなければヒントを見て下さい。
◆石川県 平田和弘 さんからの解答。
【問題４】
AB//EF、BC//FG、CD//GH なので
AE、BF、CG、DH をそれぞれ5等分するように(波型に)分ければできます。
ずっとみていたらできました。
でも20分以上かかりました。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】が長方形にならないなんて、疑っても見なかったので、清川さんの指摘を見て、やられたと思いました(笑)。
【問題３】
そっか、この手の問題は一定になるしかないもんね。
(完全に条件不足(出題ミス)だと思いこんで、考察を止めてしまった(^^;))
ＡＢ＝ＢＣ＝χ,ＣＤ＝ｙ,ＤＡ＝ｚ
χｙ＋χｚ＝2×χ
∴ｙ＋ｚ＝2
ＡＢＣＤの面積
＝(χｙ＋χｚ)×1/2×sin∠ＢＣＤ
＝2×χ×1/2×sin∠ＢＣＤ
＝2×1/2×２×sin30
＝
【問題３の別解】
Ｂを軸に△ＢＡＤを回転移動すると、
△ＤＢＡは、120度を挟む辺が２で等しい二等辺三角形になる。
よって２×２×1/2×sin120＝
【問題４】
してやられました (>o<)
帯状に５本取ればいいんですね。
こういった問題を一度でもやったことがあると、先入観でどうしてもいろいろな分割を考えてしまいます。
まったく同一の問題でも、出題される状況(場所)により微妙な心理が影響して、解けたり解けなかったりして面白いですね。
入試ではできなくてもあとで考えたら簡単だったなんてことが良くありました。
(頷く人も多いのでは？)
◆滋賀県 一平ちゃん さんからの解答。
【問題２】
Ａを原点にＢをｘ軸上に(ａ，０)ととる。
Ｐ(cosθ，sinθ)，
Ｑ(a+cosα，sinα)とおける。
従って
Ｍ(ａ／２，０)，
Ｎ((ａ+cosα+cosθ)／２，(sinθ+sinα)／２))
∴ＭＮ2
＝((cosα+cosθ）／２)2＋((sinθ+sinα)／２）2
＝(１+cos(θ―α))／ ２
≦ １
よってＭＮ ≦ １ （終わり）
◆東京都の中学校３年生 もやし さんからの解答。
【問題３】
ＡＤ＞ＣＤとして、ＢからＡＤ，ＣＤに下ろした垂線の足をＰ，Ｑとすると、
△ＡＢＰと△ＣＢＱにおいて、
仮定より、ＡＢ＝ＣＢ
∠ＡＰＢ＝∠ＣＱＢ＝９０°
四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形なので、
∠ＢＡＰ＝∠ＢＣＱ
直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＰ≡△ＣＢＱ
よって、ＢＰ＝ＢＱ…(1)
ここで、△ＰＢＤと△ＱＢＤにおいて、ＡとＣを結ぶと、
ＡＢ＝ＣＢと∠ＡＢＣ＝１２０°より、
∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ＝３０°
円周角の定理より、
∠ＡＤＢ＝∠ＢＣＡ＝∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＢ＝３０°…(2)
ＢＤ共通…(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形の斜辺と一鋭角がそれぞれ等しいので
△ＰＢＤ≡△ＱＢＤ
従って、四角形ＡＢＣＤの面積Ｓは、△ＰＢＤの面積の２倍に等しい。
また、△ＰＢＤは、３辺の比が１：２：の直角三角形なので、
ＢＰ＝１、ＰＤ＝
よって△ＰＢＤの面積は、
| ×１× |
１ ２ | ＝ | ２ | なので |
| Ｓ＝ | ２ | ×２＝ |