◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
単位円のまわりを半径１／ｎの円が回転する 外サイクロイドの式を求めます。
図において、半直線ＡＢのｘ軸との角度がθであるとき、点Ｂの座標は、
| ｘ＝（１＋ | 1 n | ）cosθ |
| ｙ＝（１＋ | 1 n | ）sinθ |
ＢＰの角度は（１＋ｎ）θ−π なので、点Ｐの座標は、
| ｘ＝（１＋ | 1 n | ）cosθ− | 1 n | cos(1+n)θ |
| ｙ＝（１＋ | 1 n | ）sinθ− | 1 n | sin(1+n)θ |
ｎ＝１ および ｎ＝２ とおくと、
【問題１】の答え
ｘ＝２cosθ−cos２θ
ｙ＝２sinθ−sin２θ
【問題２】の答え
| ｘ＝ | 3 2 | cosθ− | 1 2 | cos３θ |
| ｙ＝ | 3 2 | sinθ− | 1 2 | sin３θ |
次に、単位円のまわりを半径１／ｎの円が回転する 内サイクロイドの式を求めます。
図において、半直線ＡＢのｘ軸との角度がθであるとき、 点Ｂの座標は、
| ｘ＝（１− | 1 n | ）cosθ |
| ｙ＝（１− | 1 n | ）sinθ |
ＢＰの角度は（１−ｎ）θ なので、点Ｐの座標は、
| ｘ＝（１− | 1 n | ）cosθ＋ | 1 n | cos(1-n)θ |
| ｙ＝（１− | 1 n | ）sinθ＋ | 1 n | sin(1-n)θ |
結局、外サイクロイドの式において、ｎの値を負にとると 内サイクロイドの式になります。
ｎ＝２とおくと、
【問題３】の答え
| ｘ＝ | 1 2 | cosθ＋ | 1 2 | cos(−θ)＝cosθ |
| ｙ＝ | 1 2 | sinθ＋ | 1 2 | sin(−θ)＝０ |
【問題４】
半径比が、１：1/n のときのサイクロイドは、
下図のように ０〜２π／ｎ までのサイクロイドのｎ回の繰り返しになっています。
そこで、この範囲のサイクロイドの長さを求め、ｎ倍することにします。
| ｘ＝（１＋ | 1 n | ）cosθ− | 1 n | cos(1+n)θ |
| ｙ＝（１＋ | 1 n | ）sinθ− | 1 n | sin(1+n)θ |
の長さＬは、
となります。
【問題５】
ｎ→∞ のとき、Ｌは８に収束します。
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