◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
公比１または−２の等比数列の連続３項
∵ ３整数をｘ、ｙ、ｚとする。
等差数列の真ん中をｙとするとき ｘ＋ｚ＝２ｙ である。
（１）等比数列の中央がｙの場合 ｘｚ＝ｙ2である。
このとき ｘ、ｚは ｔ2−２ｙｔ＋ｙ2＝０ の解であり、
ｔ＝ｙという重根をもつ。
よって、ｘ＝ｚ＝ｙである。
（２）等比数列の中央がｙでない場合
中央を一般性を失わずｘとすると
ｙｚ＝ｘ2 ⇒ −２ｙｚ＝−２ｘ2である。
このとき ２ｙ、−ｚは ｔ2−ｘｔ−２ｘ2=０の解であり、
ｔ＝−ｘ、２ｘ なる根をもつ。
| よって、ｘ＝ｚ＝ｙ か ｙ＝− | x ２ |
，ｚ＝−２ｘ である。 |
【問題２】
| x= | 1-r*cos（θ） １-2r*cos(θ)+r2 |
| y= | r*sin（θ） １-2r*cos(θ)+r2 |
∵複素平面上で表すと u=ｒ*exp（i*θ） を用いて
| ∞ Σ K=0 | ukである。 |
| 等比数列の極限であり、 極値は | 1 1-u |
である。 |
【問題３】
| a1 ６ |
＋ | a2 ３ |
＋ | a3 ２ |
∵ 極値Ｌが存在するなら、線形問題なので、
Ｌ＝Ｌ（a1、a2、a3）＝αa1＋βa2＋γa3 と表せる。
（a1、a2、a3）＝（１、１、１）なら Ｌ＝１は明らかであり、
Ｌ（３、０、０）＝１である。
（a1、a2、a3）＝（３、０、０）ならa4＝１であるから
Ｌ（３、０、０）＝Ｌ（０、０、１）である。
（a1、a2、a3）＝（０、３、０）ならa4＝１であるから
Ｌ（０、３、０）＝Ｌ（３、０、１）である。
つまり
α＋β＋γ＝１
３α＝γ
３α−３β＋γ＝０
| 以上を解けば α＝ | １ ６ |
，β＝ | １ ３ |
，γ＝ | １ ２ |