『２数列の極限』解答

◆大阪府　macsyma2e さんからの解答。

各項は非負実数なので、

　| 4a_n+1+3b_n+1-5 |

＝| 10-15 |×

| 4an+3bn-5 | 12an+9bn+10

≦|1-

2

|

×| 4an+3bn-5 | for all n and

| 1-

2

|＜1

ゆえ、
4a_n+3b_n→5 as n→∞ ...(01)．

同じく、

　| 3a_n+1-4b_n+1 |

＝| 5 |×

| 3an-4bn | 12an+9bn+10

≦|

1 2

|

×| 3an-4bn | for all n and

|

1 2

|＜1

ゆえ、
3a_n-4b_n→0 as n→∞ ...(02)．

(01)(02)から、

an→

４ ５

and　bn→

３ ５

as n→∞．

◆大阪府　macsyma2e さんからの解答。

【追加問題】

上記の「同じく」の等式と 3a₁-4b₁≠0 とから、帰納的に
3a_n-4b_n≠0 for all n

ゆえ、

4an+1+3bn+1-5 3an+1-4bn+1

＝( 2- )×

4an+3bn-5 3an-4bn

for all n

で、初期値と併せて

4an+3bn-5 3an-4bn

＝

1 2

×( 2- )n-1　for all n ...(03)

同様に

4an+3bn+5 3an-4bn

＝( -2 )×( 2+ )n-1　for all n ...(04)

(03)(04)から、

an＝

4 5

×

4(2+)n-1-(2-)n-1-3 4(2+)n-1+(2-)n-1

and

bn＝

1 5

×

12(2+)n-1-3(2-)n-1+16 4(2+)n-1+(2-)n-1

for all n．

◆出題者のコメント

ねたばらしをしますと、θ_n を

tanθn =

(2-)n 2

を満たす鋭角、

φを tanφ=

3 4

を満たす鋭角として

a_n = cos(2θ_n+φ), b_n = sin(2θ_n+φ)

でした。

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