◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
| １ ―― ａ | ＋ | １ ―― ｂ | ＋ | １ ―― ｃ | ＝ | １ ―― ５ | ....1) |
題意より、５＜ａ....3)
ａ＝６
1)式より
３０×(ｂ+ｃ)＝ｂ×ｃ
| ｂ＝ | ３０×ｃ ――――― ｃ−３０ | ....4) |
m＝ｃ-３０ とする。
ｃ＝m＋３０....5)
4)式に5)式を代入する。
| ｂ＝３０＋ | ９００ ――――― m |
９００＝２2×３2×５2
ｍは９００の約数でなくてはならない。
(２+１)×(２+１)×(２+１)＝２７
m＝30 ｂ＝60，ｃ＝60 ｂ＜ｃであるから不適。
m＝1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，25
m＝36，ｂ＝55，ｃ＝66
m＝45，ｂ＝50，ｃ＝75
m＝50，ｂ＝48，ｃ＝85
m＝60，ｂ＝45，ｃ＝90
m＝75，ｂ＝42，ｃ＝105
m＝90，ｂ＝40，ｃ＝120
m＝100，ｂ＝39，ｃ＝130
m＝150，ｂ＝36，ｃ＝180
m＝180，ｂ＝35，ｃ＝210
m＝225，ｂ＝34，ｃ＝255
m＝300，ｂ＝33，ｃ＝330
m＝450，ｂ＝32，ｃ＝480
m＝900，ｂ＝31，ｃ＝930
以上で２７個の約数すべて。
ａ＝7，8，9，10，12 についても同様に求められる。
(ａ＝10) 1/11+1/11+1/55(ａ＜ｂで不適）
ａ＝11 1/10+1/11+1/110
ａ＝13 1/13+1/14+1/15 1/13+1/15+1/16
ａ＝14 1/14+1/15/1/16 解なし。
ａ＝15 1/15+1/16+1/17＜1/2 ａ>＝15 解なし。
(ａ，ｂ，ｃ)
１) ６，３１，９３０
２) ６，３２，４８０
３) ６，３３，３３０
４) ６，３４，２５５
５) ６，３５，２１０
６) ６，３６，１８０
７) ６，３９，１３０
８) ６，４０，１２０
９) ６，４２，１０５
１０) ６，４５，９０
１１) ６，４８，８０
１２) ６，５０，７５
１３) ６，５５，６６
１４) ７，１８，６３０
１５) ７，２０，１４０
１６) ７，２１，１０５
１７) ７，３０，４２
１８) ８，１４，２８０
１９) ８，１５，１２０
２０) ８，１６，８０
２１) ８，２０，４０
２２) ８，２４，３０
２３) ９，１２，１８０
２４) ９，１５，４５
２５) ９，１８，３０
２６) １０，１１，１１０
２７) １０，１２，６０
２８) １０，１４，３５
２９) １０，１５，３０
３０) １２，１５，２０
以上です。
◆おまけの問題
ある数の桁数は、２乗のとき４桁、３乗のとき６桁にならなければならない。
ある数は２桁で４７〜９９でなければならない。
４７×４７＝２２０９。
４７×４７×４７＝１０３８２３。
９９×９９＝９８０１。
９９×９９×９９＝９７０２９９。
題意を満たす数は、６９です。
６９×６９＝４７６１。
６９×６９×６９＝３２８５０９。
答え ６９。
疲れました。
【コメント】
みごと正解です。
たくさん解があるのに驚いたのではないでしょうか。
おまけの問題も解くのは大変です。
でもこちらは一つでも解があるのが不思議です。