◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題４】
(1)
ａ＝１，ｂ＝−ｃ，ｃ＜＞０
ｂ＝１，ｃ＝−ａ，ａ＜＞０
ｃ＝１，ａ＝−ｂ，ｂ＜＞０
解は無限に存在する。
(2)
ａ＝ｂ → ａ＝４，ｂ＝４，ｃ＝２
ｂ＝ｃ → ａ＝２，ｂ＝４，ｃ＝４
ｃ＝ａ → ａ＝４，ｂ＝２，ｃ＝４
(3)
ａ＝ｂ＝ｃ → ａ＝３，ｂ＝３，ｃ＝３
(4)
ａ＜＞ｂ，ｂ＜＞ａ，ｃ＜＞ａ
ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝６
ａ＝２，ｂ＝６，ｃ＝３
ａ＝３，ｂ＝２，ｃ＝６
ａ＝３，ｂ＝６，ｃ＝２
ａ＝６，ｂ＝２，ｃ＝３
ａ＝６，ｂ＝３，ｃ＝２
以上の場合分けで漏れはないと思います。
【コメント】
確認しましたが、解は上記しかないと思います。
問題２については、神奈川県のわかさひ君から、
式を整理すると、
１３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝ａｂｃですから、明らかであるという指摘がありました。
◆神奈川県 わかさひ君からの解答。
【問題１】
原方程式を整理すると
１３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＝ａｂｃ... [1]
なので、ａ，ｂ，ｃのいずれかは１３の倍数になります。
ここで、ａ＝１３ｋとします。
（ｋ≧２は自然数、以下断りなしに置く文字はすべて自然数とする）。
(場合分け[1]) ｋ−1 が１３の倍数のとき
ｋ−１ ＝ １３ｍ とすると、
(場合分け[1−1]) ｍ＝１のときｂｃ ＝ １４(ｂ＋ｃ) なので、 ｂ，ｃ には１４の素因数が含まれます。
(場合分け[1-1-1]) ｂ ＝ ２Ｂ， ｃ ＝ ７Ｃ のとき
(場合分け[1-1-2]) ｂ ＝ Ｂ ， ｃ ＝１４Ｃ のとき
(場合分け[1-2]) ｍ＜＞１のとき
１３ｍ＋１ ＝ ＭＮ と書くと、ｂ＝ｕＭ， ｃ ＝ ｖＮ とかけなければなりません。
このとき、Ｍはｖの倍数、Ｎはｕの倍数になります。
しかし、ｕ，ｖが１でなければ、ａ，ｂ，ｃはすべて共通因数（公約数）ｕｖをもつことになり(＝１３)、[2-1]に帰着します。
したがって、ｕ，ｖ＝１。あとはしらみつぶしかな。
(場合分け[2]) ｂ，ｃのいずれかが１３の倍数のとき。
ｂ＝１３ｐとする。
(場合分け[2-1]) ｃも１３の倍数のとき
これは、問題４に帰着します。
問題４の自然数解をすべて１３倍すれば、この部分の解になります。
(場合分け[2-2]) ｃは１３の倍数ではないとき
ｐｋ−ｐ−ｋは１３の倍数になります。
すなわち、(ｐ−１)(ｋ−１)＝１３ｑ＋１ (ただし、ｑ≧０)
ここで、原方程式より、ｑ＞０ がわかります。
ｐｋ＝ｃｑ、ｐ＋ｋ＝(ｃ−１３)ｑ なので、
(場合分け[2-2-1]) ｐ，ｋの片方がｑの倍数なら、もう一つもｑの倍数になるので、このときｃ＝ｓｑ。
これは、ａ，ｂ，ｃが公約数ｑをもつのですが、これは１３以外に有り得ず、[2-1]に帰着。
(場合分け[2-2-2]) ｑ＝ｕ2， ｐ，ｋはｕの倍数のとき
(ｑが非平方数では有り得ないはずです。)
このときは、結構多いはずなんですが、後は気力でしょう ;-)
１４≦ｃ≦２７ で探せばいいことまでは証明できます。
今回については、プログラムを書いて計算させるのがいいようですね。全解５９個(?)
◆石川県 青木（私です）の解答。
【問題１】
数学者の密室のプログラムをＷＷＷ用に直して求めてみました。
Ａ＜Ｂ＜Ｃの条件は考慮していません。
互換性を高くすると、プログラムが汚くなるのが悲しいです。
●以前に出題者の清川さんから、１４，１８７，６８０７が漏れているという指摘がありましたが、勘違いのようでした。
○神奈川県 三島 久典さんからの指摘
清川さんからの指摘の件、
| 1 ―― 14 | ＋ | 1 ―― 187 | ＋ | 1 ――― 6807 | ＝ | 1370825 ――――― 17820726 |
○清川さんからの訂正
（１４，１８７，６８０７）はどれも１３の素因数を持ちません。
したがって解ではありません。
単精度で起きた間違いでした。
普通の電卓で計算すれば正しいようになります。
１７８２０７２６÷１３＝１３７０８２５．．．１（これは正しい）。
１７８２０７２６÷１３７０８２５＝１３（普通の電卓では）。
Ａ＜Ｂ＜Ｃの条件をつけると解は５３組になりますね。
このプログラムによる結果：（ 1）Ａ＝14，Ｂ＝ 183，Ｃ＝33306
（ 2）Ａ＝14，Ｂ＝ 184，Ｃ＝16744
（ 3）Ａ＝14，Ｂ＝ 186，Ｃ＝8463
（ 4）Ａ＝14，Ｂ＝ 189，Ｃ＝4914
（ 5）Ａ＝14，Ｂ＝ 195，Ｃ＝2730
（ 6）Ａ＝14，Ｂ＝ 196，Ｃ＝2548
（ 7）Ａ＝14，Ｂ＝ 208，Ｃ＝1456
（ 8）Ａ＝14，Ｂ＝ 210，Ｃ＝1365
（ 9）Ａ＝14，Ｂ＝ 231，Ｃ＝858
（10）Ａ＝14，Ｂ＝ 234，Ｃ＝819
（11）Ａ＝14，Ｂ＝ 273，Ｃ＝546
（12）Ａ＝14，Ｂ＝ 280，Ｃ＝520
（13）Ａ＝14，Ｂ＝ 351，Ｃ＝378
（14）Ａ＝14，Ｂ＝ 364，Ｃ＝364
（15）Ａ＝15，Ｂ＝ 98， Ｃ＝19110
（16）Ａ＝15，Ｂ＝ 99， Ｃ＝6435
（17）Ａ＝15，Ｂ＝ 100，Ｃ＝3900
（18）Ａ＝15，Ｂ＝ 102，Ｃ＝2210
（19）Ａ＝15，Ｂ＝ 104，Ｃ＝1560
（20）Ａ＝15，Ｂ＝ 105，Ｃ＝1365
（21）Ａ＝15，Ｂ＝ 110，Ｃ＝858
（22）Ａ＝15，Ｂ＝ 117，Ｃ＝585
（23）Ａ＝15，Ｂ＝ 120，Ｃ＝520
（24）Ａ＝15，Ｂ＝ 130，Ｃ＝390
（25）Ａ＝15，Ｂ＝ 135，Ｃ＝351
（26）Ａ＝15，Ｂ＝ 156，Ｃ＝260
（27）Ａ＝15，Ｂ＝ 182，Ｃ＝210
（28）Ａ＝15，Ｂ＝ 195，Ｃ＝195
（29）Ａ＝16，Ｂ＝ 70， Ｃ＝7280
（30）Ａ＝16，Ｂ＝ 72， Ｃ＝1872
（31）Ａ＝16，Ｂ＝ 78， Ｃ＝624
（32）Ａ＝16，Ｂ＝ 80， Ｃ＝520
（33）Ａ＝16，Ｂ＝ 104，Ｃ＝208
（34）Ａ＝16，Ｂ＝ 112，Ｃ＝182
（35）Ａ＝18，Ｂ＝ 47， Ｃ＝10998
（36）Ａ＝18，Ｂ＝ 48， Ｃ＝1872
（37）Ａ＝18，Ｂ＝ 52， Ｃ＝468
（38）Ａ＝18，Ｂ＝ 54， Ｃ＝351
（39）Ａ＝18，Ｂ＝ 63， Ｃ＝182
（40）Ａ＝18，Ｂ＝ 78， Ｃ＝117
（41）Ａ＝20，Ｂ＝ 39， Ｃ＝780
（42）Ａ＝20，Ｂ＝ 40， Ｃ＝520
（43）Ａ＝20，Ｂ＝ 52， Ｃ＝130
（44）Ａ＝21，Ｂ＝ 35， Ｃ＝1365
（45）Ａ＝21，Ｂ＝ 39， Ｃ＝273
（46）Ａ＝21，Ｂ＝ 42， Ｃ＝182
（47）Ａ＝22，Ｂ＝ 32， Ｃ＝4576
（48）Ａ＝22，Ｂ＝ 33， Ｃ＝858
（49）Ａ＝23，Ｂ＝ 30， Ｃ＝8970
（50）Ａ＝24，Ｂ＝ 30， Ｃ＝520
（51）Ａ＝24，Ｂ＝ 39， Ｃ＝104
（52）Ａ＝26，Ｂ＝ 27， Ｃ＝702
（53）Ａ＝26，Ｂ＝ 28， Ｃ＝364
（54）Ａ＝26，Ｂ＝ 30， Ｃ＝195
（55）Ａ＝26，Ｂ＝ 39， Ｃ＝78
（56）Ａ＝26，Ｂ＝ 52， Ｃ＝52
（57）Ａ＝27，Ｂ＝ 27， Ｃ＝351
（58）Ａ＝28，Ｂ＝ 28， Ｃ＝182
（59）Ａ＝39，Ｂ＝ 39， Ｃ＝39
◆東京都 しんちー さんからの解答。
【問題４】
a ≦ b ≦ c と仮定してよい。
(i) 0 ＜ a ≦ b ≦ c のとき
1 = 1/a + 1/b + 1/c ＞ 1/a だから a ＞ 1
1 = 1/a + 1/b + 1/c ＜ 3/a
すなわち a ＜ 3
よって a = 2, 3
(i-1) a = 2
1/b + 1/c = 1/2 より bc = 2b + 2c
すなわち (b-2)(c-2) = 4
b-2 ≧ 0、c-2 ≧ 0、b-2 ≦ c-2 より
(b-2, c-2) = (1, 4), (2, 2)
よって (b, c) = (3, 6), (4, 4)
(i-2) a = 3
1/b + 1/c = 2/3 より 2bc = 3b + 3c
すなわち 4bc = 6b + 6c
だから (2b-3)(2c-3) = 9。
b, c ≧ 3 より 2b-3 ≧ 3 だから
(2b-3, 2c-3) = (3, 3)
よって (b, c) = (3, 3)
(ii) a ＜ 0 ＜ b ≦ c のとき
1 = 1/a + 1/b + 1/c ＜ 1/b + 1/c ＜ 2/b
すなわち b ＜ 2 だから b = 1
よって 1/a + 1/c = 0。
これより a + c = 0。解は不定。
(iii) a ≦ b ＜ 0 ＜ c のとき
1 = 1/a + 1/b + 1/c ＜ 1/c
すなわち c ＜ 1。
これをみたす正数 c はない。
(iv) a ≦ b ≦ c ＜ 0 のとき
明らかに不適。
これより大小関係を仮定したときの解は
(a,b,c) = (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3), (-t,1,t)
ただし、t は自然数。 ...(答)
◆東京都 青空 さんからの解答。
なんとか手計算か電卓レベルで求める回答をしてみたい。
そこでまずa,b,cの範囲を限定する。
原式とa<b<cから、
| 1 a | > | 1 b | > | 1 c | となるので、 |
| 1 13 | = | 1 a | + | 1 b | + | 1 c | < | 1 a | + | 1 a | + | 1 a | = | 3 a |
よってa<39,
| 1 13 | = | 1 a | + | 1 b | + | 1 c | > | 1 c | + | 1 c | + | 1 c | = | 3 c |
よってｃ>39
原式は以下のように変形できて
13(ab+bc+ca) = abc ---(1)
さらに変形すると
| ｃ= | 13ab ab-13a-13b |
cと13abは自然数なので上式の分母も自然数である。
つまり、
| ab-13a-13b > 0 , a(b-13) -13b >0 → a > | 13b b-13 |
なので a>13がわかる。
またab-13a-13b= (a-13)(b-13)- 132 >0 なので、
0<a-13<b-13よりb-13>13
よってb>26がわかる。
b=27が最小値なので、aの最大値は26
つまり、a<27となる。
問題２についてはわかさひ さんが示していますのでもういいと思います。
まず、計算する手間を倹約するため、問題３から
【問題３−１】
［aが素数で解である時、その解は一通りしかない証明］
まず、(1)式を強引に因数分解して
{ (a-13)b - 13a } { (a-13)c - 13a } = (13a)2 ---(2)
となる。
ここで、
x = (a-13)b - 13a ,y = (a-13)c - 13a とおくと、
c>bから、x<yである。
a が素数のとき、aは因数分解できないので、
xy = (13a)2 を満たすxとｙのパターンは、
xとｙが整数, x<yに注意して、
(ｘ,ｙ) = (1,132*a2), (13, 13*a2), (132, a2), (a, 132*a)
の４パターンしかないことがわかる。
これをすべて求める。
[（x,y)=(1,(13a)2)のケース]
x = (a-13)b -13a = 1 →
(a-13) (b-13) = 132 + 1= 170 = 2*5*17
となるので、両辺が整数であるから、a<bに注意すると、
a-13=1または2または5または10となるがこのうちaを素数とするのは
a-13=10 すなわち a=23で、このとき
y = (a-13)c-13a= (13a)2とb-13=17からb,cは一意的に求まって、
b=30, c=13ab= 8970となっている。
[（x,y)=(13,13*a2)のケース]
x = (a-13)b -13a = 13 →
(a-13) (b-13) = 132 + 13= 3*132
となるので、a-13=1または3または13となるがこのうちaを素数とするものはない。
[（x,y)=(132,a2)のケース]
x = (a-13)b -13a = 132 →
(a-13) (b-13) = 132 + 132= 2*132
となるので、a-13=1または2または13となるがこのうちaを素数とするものはない。
[（x,y)=(a,132*a)のケース]
x = (a-13)b -13a = a → (a-13) (b-14) = 132
となるので、a-13=1または13となるがこのうちaを素数とするものはない。
以上からaが素数の時はその答えはただ一組で
(23,30,8970)しかない。
ちなみに以上からaを素数とする解は一組しかないのでaが素数の場合はもう探索しなくてもよい。
【問題３−２】
［bが素数の場合、解であればそれはただ一組しかない証明］
上と同様に(1)式は因数分解できて
{ (b-13)a -13b} { (b-13)c -13b } = (13b)2
（u= (b-13)a-13b, w = (b-13)c-13bとおく）
となるので、上と同様にして考えられる。bが素数の時には
(u,w)= (1,(13b)2), (13,13b2), (132,b2), (b,132*b)
の四つのパターンしかない。以下、
u=1の時
(b-13)a-13b=1 →
(a-13)(b-13) = 132+1= 170= 2*5*17
b-13=170または85または34だがbが素数となるのは34の時だけで
b=47,
このときa=18, c= 13ab = 10998となり一意的に求まる。
u=13の時
(b-13)a-13b=13 →
(a-13)(b-13)= 132+13= 3*132
b-13=3*132または132または3*13だがいずれもbが素数とならない。
u=132の時
(b-13)a-13b=132 →
(a-13)(b-13)= 132+132= 2*132
b-13=2*132または132または2*13だがいずれもbが素数とならない。
u=bの時
(b-13)a-13b=b → (a-14)(b-13)= 13*14 = 2*7*13
b-13=2*7*13または14だがいずれもbが素数とならない。
よってbが素数の時その解はただ一組で
(a,b,c) = (18, 47, 10998)
【問題３−３】
［a,bがともに素数の解がないこと］
いまa,bを原式を満たす素数とする。(1)式を変形して
| ab = 13a + 13b + | 13ab c |
| となり | 13ab c | は割り切れて自然数となるはず。 |
| 同様に | 13bc a | , | 13ca b | も割り切れて自然数となるはずだが、 |
| a,bが素数の条件から | c a | , | c b | が割り切れることになる。 |
また、a,b,cのいずれかは13の倍数なのでこの場合はcが13の倍数。
よってc=13abn の形に表せれるが、
13ab/cが割り切れることより、n=1しかありえない。
つまり、c=13abとなる。この時（1）式は、
ab= 13a + 13b + 1 → (a-13)(b-13) = 132 + 1
となって、上の考察から唯一のaを素数とする自然数解は
(a,b) = (23, 30)となる。
つまり、a,bともに素数とする解は存在しない。
【問題１、すべてのa,b,cの組み合わせを求める】
探索範囲は上の考察から
13<a<27, 26<b, 39<cで、aが素数の場合は求めてあるので、はぶける。
［a=14の場合]
(2)式は
(b-13*14) (c - 13*14)
= (13*14)2
= 22*72*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は
(x,y) =
( 1, 22*72*132),
( 2, 2*72*132),
( 22, 72*132),
( 2*7, 2*7*132),
( 2*13, 2*72*13),
(2*72, 2*132),
(22*7, 7*132) ,
(22*13, 72*13),
( 7, 22*7*132),
(7*13, 22*7*13),
(72, 22*132),
(13, 22*72*13),
(132, 22*72) の１３個
よって(b,c)は
(b,c) =
(183,33306), ( 184, 16744), ( 186, 8463),
( 196, 2548), (210, 1365), ( 208, 1456),
( 280, 520) , ( 234, 819), (189, 4914) ,
( 273, 546), ( 231, 858), ( 195, 2730) ,
( 351, 378)
［a=15の場合]
(2)式は
(2b-13*15) (2c - 13*15)
= (13*15)2
= 32*52*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
(x,y) =
(1, 32*52*132),
(3, 3*52*132),
(32, 52*132),
(3*5, 3*5*132),
(3*13, 3*52*13),
(3*52, 3*132),
(32*5, 5*132),
(32*13, 52*13),
(5, 32*5*132),
(52, 32*132),
(5*13, 32*5*13),
(13, 32*52*13),
(132, 32*52) の１３個、
よって
(b,c)=
(98, 19110), ( 99, 6435), ( 102, 2210),
(105, 1365),(117, 585) , ( 135, 351),
(120, 520), ( 156, 260),(100, 3900),
(110, 858) , ( 130, 390), ( 104, 1560),
(182, 210)
［a=16の場合]
(2)式は
(3b-13*16) (3c - 13*16)
= (13*16)2
= 28*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*16≡1 mod3 であるから、x≡2, y≡2(mod 3)でなければならないことに注意して、
(x,y) =
(2, 27*132),
(23, 25*132) ,
(25, 23*132),
(27, 2*132),
(2*13, 27*13),
(23*13, 25*13)
(b,c) =
(70, 7280), ( 72, 1872), ( 80, 520),
(112, 182), ( 78, 624), ( 104, 208)
［a=18の場合]
(2)式は
(5b-13*18) (5c - 13*18)
= (13*18)2
= 22*34*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*18≡4 mod5 であるから、x≡1, y≡1(mod 5)でなければならないことに注意して、
(x,y) =
(1, 22*34*132),
(2*3, 2*33*132),
( 2*13, 2*34*13),
(22*32, 32*132),
(22*3*13, 33*13),
(34, 22*132)
(b,c) =
(47, 10998), ( 48, 1872), ( 52, 468),
(54, 351), ( 78, 117), ( 63, 182)
［a=20の場合]
(2)式は
(7b-13*20) (7c - 13*20)
= (13*20)2
= 24*52*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*20≡1 mod7 であるから、x≡6, y≡6(mod 7)でなければならないことに注意して、
(x,y) =
(13, 24*52*13),
(22*5, 22*5*132),
(23*13, 2*52*13 )
(b,c) = ( 39, 780), ( 40, 520) ( 52, 130)
［a=21の場合]
(2)式は
(8b-13*21) (8c - 13*21)
= (13*21)2
= 32*72*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*21≡1 mod 8であるから、x≡7, y≡7(mod 8)でなければならないことに注意して、
(x,y) =
(7, 32*7*132),
( 3*13, 3*72*13) ,
( 32*7, 7*132)
(b,c) = (35, 1365), (39, 273), (42, 182)
［a=22の場合]
(2)式は
(9b-13*22) (9c - 13*22)
= (13*22)2
= 22*112*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*22≡7 mod 9であるから、x≡2, y≡2(mod 9)でなければならないことに注意して、
(x,y) = ( 2, 2*112*132), ( 11, 22*11*132)
(b,c) = ( 32, 4576), ( 33, 858)
［a=24の場合]
(2)式は
(11b-13*24) (11c - 13*24)
= (13*24)2
= 26*32*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*24≡4 mod 11であるから、x≡7, y≡7(mod 11)でなければならないことに注意して、
(x,y) = ( 2*32, 25*132), ( 32*13, 26*13)
(b,c) = (30, 520), ( 39, 104)
［a=25の場合]
(2)式は
(12b-13*25) (12c - 13*25)
= (13*25)2
= 54*132
となるので、これをみたすx<yなる整数の組(x,y) は、
13*25≡1 mod 12であるから、x≡11, y≡11(mod 12)でなければならないが、
13≡1 (mod12), 52≡1(mod12), なのでこれを満たす解は作れない。
［a=26の場合]
(2)式は
(13b-13*26) (13c - 13*26)
= (13*26)2
= 22*134
(b-26) ( c- 26) = 22*132
となるので、これをみたすb-26<c-26なる整数の組 は、
(b-26, c-26) =
(1, 22*132), ( 2, 2*132),
(22, 132), ( 13, 22*13)
(b,c) = ( 27, 702), ( 28, 364), ( 30, 195), ( 39, 78)
以上より、求めるa,b,cの組み、５２組とaが素数の場合を加えて５３組が求まった。
すべてをつくすタイプの証明ではなく、代数的証明をするには、もっと深い整数論の知識が必要なのかもしれない。
解析的な回答や図形的なのはどうもこの場合、ズルと感じてしまう。
もうすこし簡単なやりかたありやいなや。