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◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
ｘｙ座標を考える。
△ABCの重心を座標原点Ｏ（0,0）にとり、
回転、伸縮により点Ａ(1,0) 点Ｂ（a,b) 点Ｃ(-1-a,-b)とする。
ベクトルＡＨはベクトルＡＣ＝（-2-a,-b)に９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(b, -2-a)。 1 0よって点Ｈ（1+b,-2-a)、点Ｉ（-1-a+b,-2-a-b)。
ベクトルＡＥはベクトルＢＡ＝（1-a,-b)に９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(b, 1-a)。 1 0よって点Ｅ（1+b,1-a)、点Ｄ（a+b, 1-a+b)。
ベクトルＢＧはベクトルＣＢ＝（1+2a,2b)に９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(-2b, 1+2a)。 1 0よって点Ｇ（a-2b, 1+2a+b)、点Ｆ（-1-a-2b, 1+2a-b)。
これから
| 点Ｊ： | 1 2 |
*(2+2b,-1-2a）、 |
| 点Ｋ： | 1 2 |
*（2a-b,2+a+2b）、 |
| 点Ｌ： | 1 2 |
*（-2-2a-b, -1+a-2b）。 |
| ベクトルＪＫ＝ | 1 2 |
*（-2+2a-3b, 3+3a+2b） |
(長さ*2)2 は 13+13a2+13b2+10a+24b
| ベクトルＫＬ＝- | 1 2 |
*（2+4a, 3+4b） |
(長さ*2)2 は 13+16a2+16b2+16a+24b
| ベクトルＬＪ＝ | 1 2 |
*（4+2a+3b, -3a+2b） |
(長さ*2)2 は 16+13a2+13b2+16a+24b
| これらが等しいとおくと a=- | 1 2 |
，b=± | 2 |
【問題２】
ｘｙ座標をとる。
任意の形の凸四角形を回転、伸縮させ
点Ａ(1,0) 点Ｂ（a,b)
点Ｃ(c,0) 点Ｄ(0,d)とすることができる。
ベクトルＡＦはベクトルＢＡ＝（1-a,b)を縦にして９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(b, 1-a)。 1 0よって点Ｆ（1+b,1-a)、点Ｅ（a+b,1-a-b)。
ベクトルＢＨはベクトルＣＢ＝（a-c,b)を縦にして９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(-b, a-c)。 1 0よって点Ｈ（a-b,a+b-c)、点Ｇ（c-b, a-c)。
ベクトルＣＪはベクトルＤＣ＝（c,-d)を縦にして９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(d, c)。 1 0よって点Ｊ（c+d,c)、点Ｉ（d, c+d)。
ベクトルＤＬはベクトルＡＤ＝（-1,d)縦にして９０度回転の行列
0 -1 （ ）を作用させて得られ、(-d, -1)。 1 0よって点Ｌ（-d,d-1)、点Ｋ（1-d, -1)。
以上から
| Ｐ： | 1 2 |
*(2+b-d,-a)、Ｍ: | 1 2 |
*(2a,1+2b-c)、 |
| Ｎ： | 1 2 |
*(-b+2c+d,a)、Ｏ: | 1 2 |
*(0,-1+c+2d)。 |
さらに
| ベクトルＰＭ＝ | 1 2 |
*(-2-2a-b+d,1+a+2b-c)、 |
| ベクトルＭＮ＝ | 1 2 |
*(-2a-b+2c+d,-1+a-2b+c)、 |
| ベクトルＮＯ＝ | 1 2 |
*(b-2c-d,-1-a+c+2d)、 |
| ベクトルＯＰ＝ | 1 2 |
*(2+b-d,1-a-c-2d)。 |
四角形ＯＰＭＮが平行四辺形ならば、上式の対辺のベクトルが等しいことから
b=-d, a=c+1。
すなわち四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。
この関係式を四角形ＯＰＭＮの辺のベクトルに代入し、隣あう辺のベクトルの内積をとったりベクトルの長さを求めたりすることにより四角形ＯＰＭＮは正方形であることがわかる。
よって、四角形ＯＰＭＮが正方形ならば、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。
◆出題者のコメント。
甘泉法師さんの解答に対するコメントです。
早速のご解答ありがとうございます。
【問題1】【問題2】とも計算量節約のため、「回転」、（原点周りの）「伸縮」で巧みに座標系を変えられているわけですが、【問題1】
は任意の三角形をこのように配置することができるので、あとの論旨は正しく正解でしょう。
しかし【問題2】は本当に任意の四角形がこのように配置できるでしょうか？
D（d,e)と置く必要があるのではないでしょうか？
そうすると結論は変わってきます。
こうしてみると【問題1】のほうが易しいんですね。
初等幾何学的な解法も引き続き募集します。