◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
ある直線Ｌを引き、正方形Ｂと正方形Ｃがその左右別側にあるようにすることができる。
ただし、接することは許容する。
（＊） 直線Ｌは正方形Aを、三角形２つか、三角形と５角形か、台形２つに切り分ける。
正方形Ｂが三角形内にある場合を考える。
正方形の各頂点から三角形の直交する２辺に垂直な線分をおろす。
直交する２辺と垂線、正方形Ｂで囲まれた一番大きな多角形Ｄが三角形の内部にあることは明らか。
正方形Ｂを、垂線に沿って平行移動して頂点を他の直交する辺上に移す。
さらに同様にして他の頂点をもうひとつの辺上に移す。
（＊＊） この２回の移動のあとの正方形Ｂがつくる多角形Ｄは、直角の隅にあわせたＢと同じ大きさの正方形を内部に含む。
こうして直角三角形内部の任意の正方形は、直角に隅寄せできるので、隅寄せの正方形に絞って最大の正方形を考え
ればよい。
それは、直角を通る正方形Ａの対角線と切り分けてできた三角形の斜辺の交点を頂点とする正方形で
あることは明らか。
正方形Ｂが台形、５角形内にあるときも同様の考察で、必ずあるひとつの直角に隅寄せできて、隅寄した直角を通る 正方形Ａの対角線と斜辺の交点を頂点とする正方形が最大である。
正方形を切り分けた二つの形の中の最大の正方形の辺を足し合わせると ａ である。
よってａ≧ｂ＋ｃである。
（＊）の証明
正方形ＢとＣをそれぞれ、ひとまわりづつ結晶の成長のように大きくしていくと拡大正方形どうしは接する。
接し方は、
a 片方の辺上に他方の頂点がある。
b 片方の辺と他方の辺が重なる。
c 片方の点と他方の点が重なる。
の３とおり。
それぞれ以下のようにすれば、分離線を引くことができる
a 辺を延長して直線を引く。
b 重なっている辺を延長して直線を引く。
c 接点を通り両正方形を通らない直線を引く。
直線は、拡大正方形を線の左右に分けるので、それぞれの内部にある正方形Ｂと正方形Ｃも分ける。
（＊＊）の証明
正方形Ａの隅から辺上にある正方形Ｂの頂点までの長さを
α＝ｂsinθ、β＝ｂcosθとする。
θは隅にできる三角形の内角の一つ。
隅から正方形Aの対角線を引き、５角形の対辺までの長さを求める。
１辺が（α＋β）の正方形の対角線から余計な部分を差し引いて
| ｛（α＋β）− | αβ
α＋β | ｝ |
これから正方形Ｂの対角線の長さを引いて
α＋β | ＞０で割れば |
| 1+sinθcosθ-sinθ-cosθ＝ | (sinθcosθ)2 1+sinθcosθ+sinθ+cosθ |
＞０ |
よって隅においた正方形Ｂと同じ大きさの正方形は、多角形Ｄの中にある。
◆宮城県 甘泉法師 さんからのコメント。
【問題３】
解けませんが感想です。
面積が１の正方形ｎ個を包含する最小の正方形の１辺の長さをｆ(ｎ)とすると
| ≦ｆ(ｎ)＜[ | | ]+1 |
左の等号がなりたつのはが自然数、
つまりｎ＝ｍ2のとき。
[ｘ]はｘを超えない整数。
http://www.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/によると
f(ｎ)が非整数をとる場合は
| ｆの値 | ｎの値 | 非整数をとる個数−整数をとる個数 （除く完全充填） |
| 2＜f＜3 | 5 | 1-3=-2 |
| 3＜f＜4 | 10 11 | 2-4=-2 |
| 4＜f＜5 | 17 18 19 | 3-5=-2 |
| 5＜f＜6 | 26 27 28 29 | 4-6=-2 |
| 6＜f＜7 | 37 38 39 40 41 | 5-7=-2 |
| 7＜f＜8 | 50 52 53 54 | 4-10=-6 |
| 8＜f＜9 | 65 66 67 68 69 70 | 6-10=-4 |
| 9＜f＜10 | 82 83 84 85 86 87 88 89 | 8-10=-2 |
【感想】
ｍ2 + 1 （ｍ＝２,３,…）からしばらくｆは非整数。
ｍが大きいほど非整数値をとる場合は長く続く。
ただしこれらの例外は５１。
非整数をとる個数−整数をとる個数（除く完全充填）＜0
【感想（追加）】
前回はｎ＝５１で、ｆが非整数値でなく 整数 
となると考えましたが、これはおかしいですね。
なぜならば ｎ＝５２の場合の並べ方からどれかひとつ正方形をはずせばよいわけですから。
ｎ＝ｍ2＋１からしばらくは、
ｆ（n)は増加する非整数 ｍ．○○○．．．で、
ある値から先でｎ＝(ｍ＋１)2まではｆ＝ｍ＋１、整数の一定値。
ｎの増大とともにこのパターンで変化すると予想されます。
この境目のようすと同じパターンの繰り返しで、物理の相転移や量子化を想起しました。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題４】
問１への回答と同じ考えですので、証明はくわしく述べないことにします。
正ｎ角形Aの中に２つの正ｎ角形BとCがある。
接することは許して左右にBとCを分ける直線Lを引くことができる。
直線LはAをふたつの多角形PとQにわける。
P、Qそれぞれにおいて正ｎ角形Aの頂点で直線Lからの距離がもっとも大きいものが少なくともひとつ（多くても２つ）ある。
そして正ｎ角形Aの中心をとおり、P、Qにある直線Lから最遠の頂点を結ぶ直線Mが少なくともひとつ（多くても２つ）ある。
正ｎ角形BとCを、それぞれ中心が直線M上にくるまで直線Lに沿って平行移動させることができる。
次にMに沿って平行移動させて正ｎ角形Aの当該頂点を形づくる辺の少なくともどちらかの上にB、Cの頂点があるようにできる。
このように移動した正ｎ角形BおよびCの各頂点から直線Mに平行な線分をAの辺に向けておろし、これらとAの辺、BまたはCの辺で囲まれる面積最大の多角形をDおよびEとする。
BおよびCをそれぞれAの当該頂点に重ね合わせて置いたもの（隅寄せということにする）は、それぞれ多角形DおよびEの内部に含まれる。
よって、両部分にある任意の正ｎ角形は、このような組をなす頂点にそれぞれ隅寄せすることができる。
隅寄した正ｎ角形で最大のものは直線LとMの交点上に頂点をもつものであるのは明らか。
この場合どんな直線Lについても
b+c = a。よって一般にb+c ≦ a。