◆東京都 tensor さんからの解答。
【問題１】
元の正方形をABCDとする。
直線a, b, ...と、点E, F, ...を次のように取っていく。
ここで、L(X, Y)を２点X, Yを通る直線、P(x, y)を２つの直線（または線分）の交点とする。
a = L(A, C)
b = L(B, D)
E = P(a, b)
（Eは正方形の真ん中）
c = L(C, D) （延長線をとる）
Fを辺AD上に任意にとる。
d = L(B, F)
G = P(c, d)
e = L(C, F)
H = P(b, e)
f = L(G, H)
I = P(BC, f)
（Iは辺BCの中点）
g = L(E, I)
J = P(AD, g)
（Jは辺ADの中点）
h = L(D, I)
K = P(a, h)
i = L(B, K)
L = P(CD, i)
（Lは辺CDの中点）
j = L(I, L)
M = P(a, j)
k = L(J, L)
N = P(b, k)
４直線a, b, j, kは正方形EMLNをなし、
(EMLNの面積) = (ABCDの面積)/8
である。
ちなみに、この作図で引いた直線は１１本です。
（つまり、１１手詰(^^;）
おまけ：以下、作図は鉛筆と定規のみとする。
【問題３】
引く直線の本数が１１より少ない作図は可能か？
【問題４】
(1) 正方形ABCDの座標をA:(0, 1), B:(0, 0), C:(1, 0), D:(1, 1)とする。
x, y: 有理数のとき、座標(x, y)の点は作図可能であることを示せ。
(2) 作図可能な点は(1)のものに限るか？
感想：辺の中点が作図できれば、あとはどうにでもなるので
パズル感覚で解いてみました。
案外、工夫の余地があって面白かったです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題４→２】
まずTOOLを作成します。
【LP1】 平行線パンタグラフtypeI
与えられた２平行直線 l≠,mに平行で、与えられた点pを通る直線の作図器
証明はtensorさんのと殆ど同じなので省略。
作図順は色（抵抗カラーコード）による。
pがｌ又はｍ上の場合はそれらをそのまま使えばよく、例外とはしない。
注記）抵抗カラーコード
【LP2】 平行線パンタグラフtypeII
直線l上に３点abcが等間隔に存在するとき、与えられた点pを通る直線の作図器
証明はtensorさんのと殆ど同じなので省略。
作図順は色で示す。
pがl上の場合はそれをそのまま使えばよく、例外とはしない。
【DIV】 主目盛り作成
平行４辺形a0,a1,b1,b0を基準としてL(a0,a1)上に等間隔の点列anをつくる。
【SUB】 補助目盛り作成
直線上の等間隔の点a↓＝[a0,a1,〜,an]を用いて、
a0〜anにその(a1-a0)/n間隔の点列xmをつくる。
下図はa0〜a1間の分割のみ示す。
ak〜ak+1間はQ=P(L(b0,ak),L(bn,ak+1)) を用いて
x（kn+I）=Ｐ(L(a0,an),L(Q,bI)) である。
なお、nは自然数である。
n=1のときも、既に完成しているので含めた。
注） これはかなり持って回った方法で、ＤＩＶの副産物のｂ↓も使えばもっと手数は減らせますが、凝ってしまいました。
A↓[0：n]はA↓の０〜ｎ成分だけのベクトルとする。
【問題４】
(1) x=nx/dx y=ny/dy とします。
a↓=DIV(B,A,D,C,max(dx,[1+nx/dx])) xsacle↓=SUB(a↓[0：dx],dx)
b↓=DIV(B,C,D,A,max(dｙ,[1+ny/dy])) ysacle↓=SUB(b↓[0：dy],dy)
lx =LP1(B,C,xscale[nx]) ly=LP1(B.A.yscale[ny])
(x,y)=P(lx,ly)
により作図可能です。
(2) （１）のものに限る
∵２点を通る直線の交点で新たな点を発生させて行くしかなく、四則演算以外は出てこない。
初期に既知の４点は全て有理点である。
従って、値が確定できる交点は有理点だけである。
つまり未知の無理点を用いて無理点を求めても、未知の部分は０（有理）に成る以外では消えない。
【問題２】
１７＝１＋４2であるから
| 一辺が | √（１＋４2） １７ | である正方形を描けばよい。 |
| 即ち有理点 ( | 1 17 | ,0)、(0, | 4 17 | )、( | 4 17 | , | 5 17 | )、( | 5 17 | , | 1 17 | ) |
下図では、すこし無駄を省いて
| ｘ軸の | 1 17 | ， | 4 17 | ， | 6 17 | ， | 9 17 | だけ求め |
【PS】
問題３に関しては、１１本が最小と思われます。
証明できていませんが。
問題２から一般に
| 1 ｎ2＋ｍ2 | の正方形が可能であることが分かります。 |
◆三重県 いわし さんからの解答。
【問題２】
【準備】
線分XYと、XYに平行でXYを含まない直線kが与えられているとき、XYの中点を作図する方法：
直線XY,k上にない点Pをとり、直線PX,PYとkの交点をそれぞれQ,R,直線QYとRXの交点をSとすれば、PSとXYの交点が求める点です。
【本題】
面積が1の正方形ABCDの
(1) 辺AB,BC,CD,DAの中点E,F,G,Hを作図
(2) 線分AE,BF,GD,HAの中点I,J,K,Lを作図
すれば、直線AJ,LF,DI,KEの作る正方形の面積は1/17です。
◆出題者の東京都 tensor さんからのコメント。
Y.M.Ojisan さんへのコメント
【問題４】正解です。
(1) 上手くまとまっていて見事です。
(2) ポイントは
＞四則演算以外は出てこない
ですね。
＞未知の無理点を用いて無理点を求めても、未知の部分は０（有理）に成る以外では消えない
ここを厳密に言うのは少し大変（？）ですが、
Q(X) ∩ R = Q (Q: 有理数体, R: 実数体)
ということですね。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題４（２）再解答】
（１）と問題２で力尽きたようです。
四則演算になるところは線形代数の教科書なので今回も省略させていただきます。
既知の有理点の座標値のベクトルをq∈Ｑ2Ｎ、
未知の点の座標値のベクトルをx∈R2Ｍ、
操作の結果得られた確定点の座標値のベクトルをｐ∈Ｒ2Ｌ、とします。
四則演算でｐが計算できるということは
p(q,x)[k]=N[k](q,x)/D[k](q,x) であるということです。
ここでＮ，Ｄは q,xの要素の多項式（+-*演算のみ）のベクトルです。
一方pが確定点であるということはpがｘの関数でないということであり、
p(q,x)[k]＝p(q)[k]＝N[k](q,x)/D[k](q,x)です。
右辺はほとんど至るところ連続な関数ですから、
ｘの代わりにｘに近い適当な有理数x'(Ｄ(q,x')≠０)を当てはめてもpの値は同じです。
よってｐ∈Ｑ2Ｌです。
つまり、殆どどんな点を使っても１つの確定点が得られるのですから、無理して無理点を使うことはないということでした。^^
【Ｐ.Ｓ.】
先の解答では D(q,x)*p(q)-N(q,x)=0 の形にして、任意のｘに対して成立するには
各ｘのべきの項の係数＝０でなければならない。
一方この方程式はｐに関しては線形式である。
よってｐはべきの項の係数と右辺０の四則演算で計算できる。
ところでべきの項の係数は四則演算結果であるから∈Ｑであり、
０∈Ｑであるからｐ[k]∈Ｑであると想ったのですが、
Ｄは既に対角化されていたりして、冗長で情緒的で上智には遠かったです。