◆東京都 哲(サトシ) さんからの解答。
(1)
| S= | r(AB+BC+CA) 2 |
より、S_6= | R(AB+BC+CA) 2 |
= | RS r |
。 |
(2)
∠BOC=α, ∠COA=β, ∠AOB=γ とおくと、
| s=R(sin( | α 2 |
)+sin( | β 2 |
)+sin( | γ 2 |
)) |
| = | S_6 2 |
| = | RS 2r | 。 |
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
(１)
外接円の中心を Ｏ、３辺 ＢＣ , ＣＡ , ＡＢ のそれぞれの長さを ａ , ｂ , ｃ とすると、
求める面積Ｓ_6は３つの四角形 ＯＢＤＣ , ＯＣＥＡ , ＯＡＦＢ の面積の和である。
いずれの四角形も、２本の対角線は直交し長さＲの対角線を１本ずつ持つが、残りの対角線の長さはそれぞれ ａ , ｂ , ｃ である。
| ∴ Ｓ_6＝ | Ｒ(ａ＋ｂ＋ｃ) ２ |
| ∴ Ｓ＝ | ｒ(ａ＋ｂ＋ｃ) ２ |
| ∴ | ａ＋ｂ＋ｃ ２ |
＝ | Ｓ ｒ |
| Ｓ_6＝Ｓ* | Ｒ ｒ |
| 【答え】 Ｓ_6＝Ｓ* | Ｒ ｒ |
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
(２)
左図のように、線分 ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ を引くと、３つ線分は△ＡＢＣの３頂角をそれぞれ２等分する。
（何故なら、同一円において弧長が等しければ、張る円周角も当然等しい。）
線分 ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ が△ＡＢＣの各頂角の２等分線ならば、３線分は１点ｏ'(△ＡＢＣの内心)で交わる筈である。
すると、右図より明らかに、２角と挟辺が等しいため
△ＥＡＦ≡△Ｅｏ'Ｆ ,
△ＦＢＤ≡△Ｆｏ'Ｄ ,
△ＤＣＥ≡△Ｄｏ'Ｅ 。
よって、求める三角形ＤＥＦの面積は六角形ＡＦＢＤＣＥの面積の半分である。
| (１)より、六角形ＡＦＢＤＣＥの面積は Ｓ* | Ｒ ｒ |
| 故に、求める面積は | ＳＲ ２ｒ |
。 |
| 【答え】 | ＳＲ ２ｒ |
◆出題者のコメント
哲(サトシ)さんの(2)の解答は答はあっているのですが、
| s=R(sin( | α 2 |
)+sin( | β 2 |
)+sin( | γ 2 |
)) |
Footmarkさんの解答(1,2)は出題者と同じ解き方でした。
◆東京都 哲(サトシ) さんからの解答。
(2)
△ABCの外接円の中心を O とおき、
∠BOC=α, ∠COA=β, ∠AOB=γ とおくと、
s = △DOE+△EOF+△FOD
| = R | 2 | sin( | α 2 |
+ | β 2 |
)/2+R | 2 | sin( | β 2 | + | γ 2 |
)/2+R | 2 | sin( | γ 2 | + | α 2 |
)/2 |
| = R | 2 | sin(π-( | α 2 |
+ | β 2 |
))/2+R | 2 | sin(π-( | β 2 | + | γ 2 |
))/2+R | 2 | sin(π-( | γ 2 | + | α 2 |
))/2 |
| = R | 2 | sin( | γ 2 |
)/2+R | 2 | sin( | α 2 |
)/2+R | 2 | sin( | β 2 |
)/2 |
| = △AOF+△BOD+△COE |
| = △FOB+△DOC+△EOA |
ここで、
△AOF+△BOD+△COE+△FOB+△DOC+△EOA=S_6
であるから、
| s= | S_6 2 | = | RS 2r | ...(答) |
◆出題者のコメント
(2)は内接円の中心と外接円の中心のどちらに注目するかで難易度が大分違うようですね。
△DOE, △AOF, △BOFの面積が同じだとは気がつきませんでした。
(3)は(1)や(2)のように簡単にはいかないので、やり応えがあると思います。