『常に平方数より１少ない数列の漸化式』解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【解答】

a[n]はその漸化式形よりフィボナッチ数列であり、
α＝127+16√63と置くとき
a[n]＝Ａαn＋Ｂα-nと表され、特にｎが大きなところではαのｎ乗にほぼ比例する。
従って問題の命題が成立するなら、ｎが大きなところで
ｍは√αのｎ乗にほぼ比例しなければならない。

ところで√α＝８＋√63であるから、ｍもフィボナッチ数列である可能性が高く、
その漸化式は　m[n+2]=16m[n+1]-m[n] である。

m[1]=3 m[2]=45として　ｍ[n]を計算すると
3 , 45 , 717 , 11427 , 182115 , 2902413 , 46256493 , 737201475 ,…
であって、既知値と一致している。

実際、ｍを展開計算すると、
m[n]2-1=Ａ'αn＋Ｂ'α−n＋Ｃ'と表され、未知数は３個であるが、既知項において３項以上で一致しているので　
A=A'，B=B'，０＝Ｃ' であって、a[n]＝m[n]2-1である。

即ちa[n]は平方数−１である。

【考察】

数列　ｍ[n] ：　ｍ[n+2]=B*m[n+1]-m[n] 　Ｂ：２以上の整数
の一般項は　ｍ[n]＝ｃ*βn＋ｂ*β-n　であらわされる。
ここで、　Ｂ＝β＋ １
β

従って、ｍ[n]2＝ｃ2*β2n＋ｂ2*β-2n＋２ｃｂである。

ａ[n]＝ｃ2*(β2)n＋ｂ2*(β-2)nとおけば
ｍ[n]2＝ａ[n]＋２ｃｂ　であり、ａ[n]は
ａ[n+2]=（β2＋β-2）*ａ[n+1]-ａ[n]＝（Ｂ2−２）*ａ[n+1]-ａ[n]
なる漸化式を満たす。

また　２ｃｂ＝１であれば　　ａ[n]＝ｍ[n]2−１である。

問題の作り方としては　 ∀m[0]=ｃ＋ｂ と　２ｃｂ＝１　より　ｂとｃを定め、
m[１]＝ｃ*β＋ ｂ
β		およびＢ＝β＋ １
β
が整数になるようなβを見つければよい。

通常　ｃ、ｂは Ｘ±Ｙ√Ｚ
２		と表されるので　βおよび １
β
としては、同様な（ｘ±ｙ√Ｚ)　の形であれば成立しやすい。

この場合、Ｂおよびm[１]が整数であることは既にほぼ成立している。
ここで、Ｘ，x，Ｙ，ｙ，Ｚは整数で、ｘ2−Ｚｙ2＝１であり、ペルの方程式である。

ただし、Ｚが非平方数の場合を考える。
なお、　ｘ＝ Ｂ
２		、 m[1]=ｘ*Ｘ+ｙ*Y*Ｚ である。

具体的に　m[0]＝３　とすると　Ｘ＝３、Ｙ＝１、Ｚ＝７　である。
このとき　ｘ＝８、ｙ＝３、が存在し、
Ｂ＝１６、Ｂ2−２＝２５４、ｍ[1]=４５　である。
（問題の場合）
また、　m[0]＝２　とすると　Ｘ＝２、Ｙ＝１、Ｚ＝２　である。

このとき　ｘ＝３、ｙ＝２、が存在し、
Ｂ＝６、Ｂ2−２＝３４、ｍ[1]=１０　である。

つまり、　m=2,10,58,338 a=3,99, 3363,114243
a[n+2]=34*a[n+1]-a[n] である。

また　ｘ＝１７、ｙ＝１２、も存在し、
Ｂ＝３４、Ｂ2−２＝１１５４、ｍ[1]=58　である。

つまり、　m=2,58,1970,66922 a=3,3363, 3880899,4478554083
a[n+2]=1154*a[n+1]-a[n] である。

なお、ペル方程式には　次のｘ＝2*ｘ2−１という系列関係がある。

◆東京都　昔とった杵柄 さんからの解答。

まず、次の漸化式で定義できる数列 bn を考えました。

b0=3
b1=3
bn = 16*bn-1 - bn-2

ここで、X2-16X+1=0 の解をα、βとおくと、

bn+1 - αbn = β(bn - αbn-1) = … = βn(b1-αb0)
bn+1 - βbn = α(bn - βbn-1) = … = αn(b1-βb0)

よって、bn の一般項は、次のようになります。

bn = αn-βn
α-β		* b1 - αβ(αn-1-βn-1)
α-β		* b0

bn = 3 * ( (1-β)αn -(1-α)βn )
α-β

次に、bn2 を、計算すると、
bn2 = 9 * ( (1-β)2 α2n -2(1-α)(1-β)(αβ)n +(1-α)2 β2n )
(α-β)2

この、α、βは、X2-16X+1 = 0 の解なので、
(1-β)2 = β2-2β+1 = 14β であり、
解と係数の関係、α+β = 16、αβ=1 などを代入すると、

bn2 = 9 * ( 14α2n-1 + 28 + 14β2n-1 )
252
bn = α2n-1 + β2n-1
2		+ 1

この、 α2n-1 + β2n-1
2		 を cn と置くと、

αβ=1 より、
cn*(α2+β2) = cn+1 + cn-1 が成立し、
cn が満たす漸化式は、次のように書けます。

c0=8
c1=8
cn+1 = 254cn - cn-1

この漸化式は、求めるa[n]の式と同じなので、
a[n] = cn = bn2 - 1 となり、
a[n]は、ある整数の２乗から、１少ない数になります。

【コメント】

綺麗な関係に、感動していたのですが、Y.M.Ojisan さん解説の、ペル方程式への関連も、驚きでした。
高校生の時、こういう数列を、さんざん解きましたが、後ろには、深い理論があるなぁ、と思いました

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