◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
正方形の面積から4つの三味線のバチ状の形を引けば、求める図形の面積となる。
一辺がaの正三角形の面積
4 | a2 |
中心角60°の扇形の面積
π 6 | a2 |
中心角30°の扇形の面積
π 12 | a2 |
バチ状の面積
π 12 | a2− | ( | π 6 | a2 | - | 4 | a2 | ) |
= | 4 | a2− | π 12 | a2 |
求める図形の面積
a2 | −4*( | 4 | a2− | π 12 | a2 | ) |
=a2−a2+ | π 3 | a2 |
=(1+ | π 3 | −) | a2 |
答え (1+ | π 3 | −) | a2 |
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
図において、△ABOは∠O=30°の二等辺三角形です。
求める面積は
弦ABと弧ABとで出来る弓形(弓形ABと呼ぶ)4つと、正方形ABCDとの和で表せます。
扇形OAB= | πa2 12 |
△ABO= | 1 2 | ×a×a×sin30°= | a2 4 |
より、
弓形AB= | πa2 12 | − | a2 4 |
余弦定理より、
b2
=a2+a2−2・a・a・cos30°
=2a2−a2
以上より、求める面積は、
4×( | πa2 12 | − | a2 4 |
) | +2a2−a2 |
=( | π 3 | +1−) | a2 |
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
中学生でも解けると言うことで、その範囲で解いてみます。
図において、△ABOは∠O=30°の二等辺三角形です。
求める面積は弦ABと弧ABとで出来る弓形(弓形ABと呼ぶ)4つと、正方形ABCDとの和で表せます。
扇形OAB= | πa2 12 |
△ABOは、OAを底辺とすると、高さはOB/2なので、
△ABO= | 1 2 | ×a× | a 2 | = | a2 4 |
弓形AB=( | π 12 | − | 1 4 | )a2 |
線分ACをCの方に延長した直線と、外側の正方形との交点をEとすると、
CE=(1− | 2 | ) | a2 |
同様に、Aの方に延長し、点Fを取ると、
AF=(1− | 2 | )a |
AC=a−CE−AF=(−1)a
正方形ABCD
= | AC2 2 |
= | (−1)2・a2 2 |
=(2−)a2 |
以上より、求める面積は、
4×( | π 12 | − | 1 4 |
)a2+(2−)a2 |
=( | π 3 | +1−) | a2 |
◆兵庫県 hippo さんからの解答。
◆東京都の中学校3年生 もやし さんからの解答。
求める図形の四隅を結ぶと、正方形ができる。
したがって、求める面積は、
正方形+すきま×4 で出すことができる。
図のように3点A,B,Oを定めると、∠AOB=30°なので、
AからBOに垂線AHを下ろすと、AH= | 1 2 | a である。 |
△ABO=BO×AH× | 1 2 | =a× | 1 2 | a | × | 1 2 | = | 1 4 | a2となる。 |
πa2× | 30 360 | = | 1 12 | πa2 | なので、 |
1 12 | πa2 | − | 1 4 | a2 | …(1) となる。 |
正方形の面積は一辺の長さの二乗、つまり、ABの二乗なので、無理にABを求める必要はなく、三平方の定理から、
AB2
=AH2+BH2
=( | 1 2 | a) | 2 | +(a− | 2 | a) | 2 |
=2a2−a2…(2) となる。 |
よって、(求めたい面積)=(2)+(1)×4から、
(2a2−a | 2 | )+( | 1 12 | πa | 2 | − | 1 4 | a | 2 | )×4 |
=a2−a2+ | 1 3 | πa | 2 |
=(1−+ | π 3 | )a | 2 |
∴(1−+ | π 3 | )a | 2 |