『ラグビーボールの重なり』解答


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

正方形の面積から4つの三味線のバチ状の形を引けば、求める図形の面積となる。

一辺がaの正三角形の面積

4
a2

中心角60°の扇形の面積
π
6
a2

中心角30°の扇形の面積
π
12
a2

バチ状の面積
π
12
a2(π
6
a2-
4
a2)

4
a2π
12
a2

求める図形の面積
a2−4*(
4
a2π
12
a2)
=a2a2 π
3
a2
=(1+ π
3
)a2

答え (1+ π
3
)a2


◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。

図において、△ABOは∠O=30°の二等辺三角形です。

求める面積は
弦ABと弧ABとで出来る弓形(弓形ABと呼ぶ)4つと、正方形ABCDとの和で表せます。

扇形OAB= πa2
12

△ABO=
×a×a×sin30°=2

より、
弓形AB= πa2
12
2

余弦定理より、

2
=a2+a2−2・a・a・cos30°
=2a22

以上より、求める面積は、
4×( πa2
12
2
)+2a22
=( π
+1−)2


◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。

中学生でも解けると言うことで、その範囲で解いてみます。
図において、△ABOは∠O=30°の二等辺三角形です。

求める面積は弦ABと弧ABとで出来る弓形(弓形ABと呼ぶ)4つと、正方形ABCDとの和で表せます。

扇形OAB= πa2
12

△ABOは、OAを底辺とすると、高さはOB/2なので、
△ABO=
×a×
2
より、
弓形AB=( π
12

)a2

線分ACをCの方に延長した直線と、外側の正方形との交点をEとすると、
CE=(1−
)2
です。

同様に、Aの方に延長し、点Fを取ると、
AF=(1−
)a
です。

AC=a−CE−AF=(−1)a

正方形ABCD
AC2
(−1)2・a2
=(2−)a2

以上より、求める面積は、
4×( π
12

)a2+(2−)a2
=( π
+1−)2


◆兵庫県 hippo さんからの解答。

PDFファイル(234KB)


◆東京都の中学校3年生 もやし さんからの解答。

求める図形の四隅を結ぶと、正方形ができる。
したがって、求める面積は、
正方形+すきま×4 で出すことができる。

図のように3点A,B,Oを定めると、∠AOB=30°なので、
AからBOに垂線AHを下ろすと、AH=
a である。
したがって、
△ABO=BO×AH×
=a×
×

2となる。
また、扇形AOBの面積は、
πa2× 30
360

12
πa2 なので、
すきま1つ分の面積は、

12
πa2
2 …(1) となる。

正方形の面積は一辺の長さの二乗、つまり、ABの二乗なので、無理にABを求める必要はなく、三平方の定理から、
 AB2
=AH2+BH2
=(
a) 2 +(a−
a) 2
=2a22…(2) となる。

よって、(求めたい面積)=(2)+(1)×4から、

(2a2 2)+(
12
πa 2
2 )×4
=a22
πa 2
=(1− π
)a 2

∴(1− π
)a 2


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