『正三角形の作図』解答

◆東京都　甘泉法師 さんからの解答。

【問題２】

余弦定理から

cosA= b2+ c2- a2
2bc
cosB= c2+ a2- b2
2ca
cosC= a2+ b2- c2
2ab

これを与式の左辺に代入して値１を得る。

【問題１】

  1. 角度αの二等分線を引き、定規、コンパスで角度α/２をうつしとり、別の紙にひとつの内角がα/２の直角三角形Xを描く。

  2. もうひとつ別の紙に別に適当な正三角形PQRを描き、頂点P、辺PQの中点M、辺PQの垂直２等分線上の正三角形内部側の点Sのつくる△PMSが
    ∠PSM＝α/２で三角形Xと相似になるように点Sを選ぶ。
    具体的には、PM：MSが直角三角形Xの対応する辺の比と同じになるよう作図して長さをうつしとり描き込めばよい。
    　次に線分PSの垂直２等分線と線分QSの垂直２等分線の交点を求めると、この点を中心に点P、点Q、点Sを通る円弧が描ける。

  3. 角度β、γについて正三角形PQRの他の辺を使って同様のことを行い、円弧を描く。
    これらの円弧の交点を得る。
    こうして題意の図形と相似な形が描けた。
    これからコンパスで線分の長さをうつしとり元の図形に描き込んで、題意の正三角形を描く。

◆出題者のコメント。

問題２の甘泉法師さん＞

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1　は 当然、第二余弦定理で成立しますが、どうやってこの式を導いたと思いますか？

◆東京都　鳥居 さんからの解答。

【問題１】

直線ｌ上に点Ａを任意に取る。
点Ａを中心に点Ｏ，直線ｌ，ｍを60°回転させ、それぞれ点Ｐ，直線ｓ，ｔする。
直線ｎ，ｔの交点を点Ｃとする。
点Ｃが60°回転する前の点をＢとする。(点Ｂはもちろん直線ｍ上)
△ＡＰＣは△ＡＯＢを60°回転させたものである。(両者の三角形はもちろん合同)
よって、ＡＣ＝ＡＢ，∠ＣＡＢ＝60°より△ＡＢＣは正三角形である。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【問題１】

一般性を失わずβが最大とします。
またα、γは供に６０度以下か６０度以上とします。
Ａ点を適当にｌ　上にとり、基本的にはＡを中心に全体を±６０度回転させｍとｎの交点をＢ、Ｃとすればよいことは下図より明らかです。

　具体的には

  1. コンパスを用いてＡＯを一辺する正三角形の残りの１点をｍ側に描く。
  2. ｎ上に適当に点ＸをとりＡＸを一辺する正三角形の残りの１点をｍ側に描く。
  3. １．２．を結ぶ直線とｍの交点をＢとする。
  4. ＡＢを半径とする円とｎの交点をＣとする。
【コメント】

α≠β≠γ≠１２０°　の条件は不要と思います。　
一方、ｍとｎが交点を持たない解のない場合があります。
それが最初につけた条件です。

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