◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
図のように、△ＡＢＰ、△ＢＣＰ、△ＣＡＰを６０度回転すると、
△ＡＢＣの２倍の面積をもつ六角形ができます。
この六角形は、一辺がａ、ｂ、ｃの３種類の正三角形１つずつと、３辺が、ａ、ｂ、ｃの三角形３つに分けることができます。
１辺がａの正三角形の面積は、
| 1 ― 2 | × ａ × ａ × sin60°＝ |  ４ | ａ2 |
同様にして、３つの正三角形の面積の和は、
４ | (ａ2＋ｂ2＋ｃ2)＝ | ４ | ×ｐ |
３辺がａ、ｂ、ｃの三角形の面積は、ヘロンの公式より、
変形して、
以上より、六角形の面積は
よって、△ＡＢＣの面積は、その半分で、
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
△ＡＢＰをＡＢで折り返し、△ＡＤＢとする。
△ＢＣＰ、ＡＣＰも、それぞれＢＣ、ＡＣで折り返し、△ＢＥＣ、△ＣＦＡとする。
△ＡＢＣ
＝△ＡＤＢ＋△ＢＥＣ＋△ＣＦＡ
＝六角形ＡＤＢＥＣＦの面積の１／２
△ＡＤＢ、△ＢＥＣ、△ＣＦＡ は いずれも 頂角１２０°、両底角３０°の正三角形である。
ＤＦ＝ａ
ＤＥ＝ｂ
ＥＦ＝ｃ が求まるので
| △ＡＤＦ＝ | ４ | ａ2 |
| △ＢＤＥ＝ | ４ | ｂ2 |
| △ＣＥＦ＝ | ４ | ｃ2 |
△ＤＥＦは、ヘロンの公式に代入して
これを変形し、ｐ、ｑで書き換えると、
となる。
△ＡＤＢ＋△ＢＥＣ＋△ＣＦＡ
| ＝ | ４ | （ａ2＋ｂ2＋ｃ2） |
| ＝ | ４ | ｐ |
ゆえに
（終わり）
最初の問題と同じ方法で解きました。
計算が大変でした。
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
△ABPをABで折り返し、△ADBとする。
△BCP、△ACPもそれぞれBC、ACで折り返し、△BEC、△CFAとする。
△ABC
＝△ADB＋△BEC＋△CFA
＝六角形ADBECFの面積の１／２
∠DAF＝２α、∠DBE＝２β、∠ECF＝２γ
DF＝2a sin α＝x
DE＝2b sin β＝y
EF＝2c sin γ＝z
とおくと
| △ADB＝ | a2 sin ２α
２ |
| △BEC＝ | b2 sin ２β
２ |
| △CEF＝ | c2 sin ２γ
２ |
ゆえに
| △ADF＋△BDE＋△CEF＝ | ｒ
― ２ |
△DEFはヘロンの公式に代入して
これを変形し、p，qで書き換えると
となる。
ゆえに
最初の問題と同じ方法で解きました。
計算は慣れました。