【おまけ】
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【答え】
４８−１３√３ （下記状態で約２５．５）
【おまけ】
一般性を失わず、正方形の一辺bは１とする。
また、a/b＝ｒとする。
| ｒの値/範囲 | 最大面積（ｂ２） | 状態図 |
sec(15度) 以下 |
ｒ２×√３/４：正三角形の面積 |  |
sec(15度) 〜 （３√２−√６） ―――――― ６ |
詳細は下記 θ＝１５度 |
 |
（３√２−√６） ―――――― ６ 〜 ２√３ ―――― ３ |
詳細は下記 |
 |
２√３ ―――― ３ 〜 １＋２/√３ |
詳細は下記 θ＝０度 |
 |
１＋２/√３ 以上 |
１：正方形の面積 |  |
正三角形と正方形の成す角θはその対称性から、０〜１５度のみ考慮すればよい。 θを固定したときに、下図の面積が最大であるということは、
この状態をEの座標Ex,Eyをパラメータとし、Ax,Ayについて解析的に解く。tan(θ)＝ |
Eｙ ― Eｘ |
tan(θ-π/3)＝ |
Ey−√３・Eｘ ―――――― Eｘ＋√３・Ey |
ｔan(θ+π/3)＝ |
Ey＋√３・Eｘ ―――――― Eｘ−√３・Ey |
| 点 | ｘ座標 | ｙ座標 |
| A | Ax | Ay |
| B | Ax+1 | Ay |
| C | Ax+1 | Ay+1 |
| D | Ax | Ay+1 |
| E | Ex | Ey |
| F | 略 | 略 |
| P | Ay/tan(θ) | Ay |
| Q | Ax+1 | （Ax+1）×tan(θ) |
| R | Ax+1 | Ey+tan(θ-π/3)･（Ax＋１−Ex） |
| S | Ex+（Aｙ＋１−Eｙ）/ tan(θ-π/3) | Ay+1 |
| T | （Ay+1）/tan(θ＋π/3) | Ay+1 |
| U | Ax | tan(θ＋π/3)・Ax |
| ｛３Ex３-３Ex２＋（√３−２）ExEy＋３ExEｙ２-２Eｙ２｝｛Ex-√３・Ey｝ | |
| Ax= | ――――――――――――――――――――――――――― |
| ２｛Ex２＋Eｙ２｝｛３Ex−√３・Ey｝ | |
| ｛（３−６√３）Eｙ２＋３√３・Ey３＋（２√３−６）ExEy＋９ExEｙ２＋３√３・Ex２Eｙ＋９Eｘ３−（３＋４√３）Eｘ２｝Ey | |
| Aｙ= | ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― |
| ６｛Ex２＋Eｙ２｝｛Ex＋√３・Ey｝ |
共通部分の面積が最大になるのは儕BQ＋儚CS＋僖UTの面積が最小になる場合である。| （３Eｘ２−３Ex−２√３・Ex−√３・Eｙ＋３Eｙ２）２ | |
| F(Ex,Ey)= | ――――――――――――――――――――――― |
| ｛Ex＋√３・Eｙ｝｛３Ex−√３・Ey｝ |
| ｒ（１−ｔ２） | |
| Ex= | ――――――― |
| （１＋ｔ２） | |
| ２ｒｔ | |
| Ey= | ――――――― |
| （１＋ｔ２） |
| ｛（３ｒ＋３＋２√３）ｔ２−２√３・ｔ＋３ｒ−３−２√３｝２ | |
| F(ｔ,ｒ)= | ――――――――――――――――――――――― |
| （３ｔ２＋２√３・ｔ−３）（ｔ２−２√３・ｔ−１） |
この関数を先に数値的に調べておくと下図である。ただし横軸はθに変換
具体的にFの最小位置を求めるためにF（ｔ、ｒ）をｔで微分すると、次のような因数の積である。| F'(t,r)= | −4√３ |
| × | ｛（３ｒ＋３＋２√３）ｔ２−２√３・ｔ＋３ｒ−２√３−３｝ |
| × | ｛（３ｒ＋２√３）ｔ２＋（６√３・ｒ＋12r）ｔ−３ｒ＋２√３｝ |
| × | ｛ｔ２＋（２√３＋４）ｔ−１｝ |
| ÷ | ｛（ｔ＋√３）（ｔ＋２−√３）（ｔ−２−√３）（３ｔ−√３）｝２ |
| 極値を与える ｔ | |
| ｛１｝ | √６＋√２−２−√３ （約０．１３２） |
| ｛２｝ | （２√３−３）ｒ−２√｛（６−３√３）ｒ２−１｝ ――――――――――――――――――― √３・ｒ＋２ |
以上をまとめると解答が得られる。
Ｆ（t,r）が非常に綺麗な式だったことや、微分の0点が２次式の解として得られることは驚きでした。
とういことは、幾何学的にもっと簡単な証明があるということでしょうね。