『正三角形と正方形の共通部分の面積』解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【答え】

４８－１３√３　　　（下記状態で約２５．５）




【おまけ】

一般性を失わず、正方形の一辺bは１とする。
また、a/b＝ｒとする。

ｒの値/範囲 最大面積（ｂ２） 状態図

sec(15度)

以下		 ｒ２×√３/４：正三角形の面積

sec(15度)

～

（３√２－√６）
――――――
６
詳細は下記

θ＝１５度


（３√２－√６）
――――――
６

～

２√３
――――
３
詳細は下記

２√３
――――
３

～

１＋２/√３
詳細は下記

θ＝０度

１＋２/√３

以上		 １：正方形の面積







【証明】

　正三角形と正方形の成す角θはその対称性から、０～１５度のみ考慮すればよい。
そこで正三角形OEFの頂点Oを原点とし下図のように正方形ABCDを配置する。　　

点Aの位置が辺OEより下であれば、辺OEまで上昇させることで面積を少なくとも減少させることはなく、辺OEより上として良い。
同様に辺OFよりも右として良い。

　また点Eより上の場合、点Eまで下げることで面積は増加する。
同様に点Fよりも左として良い。逆に点BはFより右、点DはEより上である。

　θを固定したときに、下図の面積が最大であるということは、
Aｘ、Ａｙが微小に変化したとき面積の変化率が０をクロスする状態であることであり、
即ちUA=QR、AP=STであることである。　　





　この状態をEの座標Ex,Eyをパラメータとし、Ax,Ayについて解析的に解く。


ここで　Ex2＋Ey2=r2である。また、


tan(θ)＝		 Eｙ
―
Eｘ


tan(θ-π/3)＝
Ey－√３・Eｘ
――――――
Eｘ＋√３・Ey


ｔan(θ+π/3)＝
Ey＋√３・Eｘ
――――――
Eｘ－√３・Ey

である。

各点の座標は下記である。
点 ｘ座標 ｙ座標
A Ax Ay
B Ax+1 Ay
C Ax+1 Ay+1
D Ax Ay+1
E Ex Ey
F 略 略
P Ay/tan(θ) Ay
Q Ax+1 （Ax+1）×tan(θ)
R Ax+1 Ey+tan(θ-π/3)･（Ax＋１－Ex）
S Ex+（Aｙ＋１－Eｙ）/ tan(θ-π/3) Ay+1
T （Ay+1）/tan(θ＋π/3) Ay+1
U Ax tan(θ＋π/3)・Ax

以上の式からAP,RQ,ST,UAの各長さを求めることができる。

さらに、２線型方程式　AP=ST　RQ=UA　を連立させることにより、Ax , Ayをとくことができ、下記を得る。
　
｛３Ex３-３Ex２＋（√３－２）ExEy＋３ExEｙ２-２Eｙ２｝｛Ex-√３・Ey｝
Ax= ―――――――――――――――――――――――――――
２｛Ex２＋Eｙ２｝｛３Ex－√３・Ey｝
　
｛（３－６√３）Eｙ２＋３√３・Ey３＋（２√３－６）ExEy＋９ExEｙ２＋３√３・Ex２Eｙ＋９Eｘ３－（３＋４√３）Eｘ２｝Ey
Aｙ= ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
６｛Ex２＋Eｙ２｝｛Ex＋√３・Ey｝

以上で全ての点が定まる。


　共通部分の面積が最大になるのは⊿PBQ＋⊿RCS＋⊿DUTの面積が最小になる場合である。
これを計算すると、定数係数（√３/１２）を除いて下記の綺麗な式である。

（３Eｘ２－３Ex－２√３・Ex－√３・Eｙ＋３Eｙ２）２
F(Ex,Ey)= ―――――――――――――――――――――――
｛Ex＋√３・Eｙ｝｛３Ex－√３・Ey｝

（４）Ex2＋Ey2=r2　の条件を導入するために下記とする。
ｒ（１－ｔ２）
Ex= ―――――――
（１＋ｔ２）
　
２ｒｔ
Ey= ―――――――
（１＋ｔ２）

これをF（Ex,Ey）に代入すると下記である。
｛（３ｒ＋３＋２√３）ｔ２－２√３・ｔ＋３ｒ－３－２√３｝２
F(ｔ,ｒ)= ―――――――――――――――――――――――
（３ｔ２＋２√３・ｔ－３）（ｔ２－２√３・ｔ－１）


　この関数を先に数値的に調べておくと下図である。ただし横軸はθに変換



【問題】の場合はｒ＝１．３３３３の場合であり、θ＝０が一番小さいことがわかる。

一方、　ｒ＝ｓｅｃ（15度）＝１．０３２５８の場合はθ＝１５度が一番小さく、正三角形が全部正方形内部にある場合の最大の位置・大きさである。


　具体的にFの最小位置を求めるためにF（ｔ、ｒ）をｔで微分すると、次のような因数の積である。

F'(t,r)= －4√３
× ｛（３ｒ＋３＋２√３）ｔ２－２√３・ｔ＋３ｒ－２√３－３｝
× ｛（３ｒ＋２√３）ｔ２＋（６√３・ｒ＋12r）ｔ－３ｒ＋２√３｝
× ｛ｔ２＋（２√３＋４）ｔ－１｝
÷ ｛（ｔ＋√３）（ｔ＋２－√３）（ｔ－２－√３）（３ｔ－√３）｝２

３つの２次方程式を解くことにより６つのゼロ点が得られるがこのうち０～１５度内にあるのは下表の２個である。

｛１｝は　ｒに拠らない値であり、θ＝１５度に対応している。

したがって、真の極値は｛２｝の方においてである。

｛２｝は　ｒ＝２/√３（約1.1547）の時、０である。
つまりθ＝０度である。

また　ｒ＝（２√３－√６）/６（約1.115４）のとき｛１｝の値となる。
つまりθ＝１５度である。　

極値を与える　ｔ
｛１｝ √６＋√２－２－√３　　（約０．１３２）
｛２｝ （２√３－３）ｒ－２√｛（６－３√３）ｒ２－１｝
―――――――――――――――――――
√３・ｒ＋２


　以上をまとめると解答が得られる。
下図は得られた面積最大となる位置関係をアニメにしたものである。




【ＰＳ】

Ｆ（t,r）が非常に綺麗な式だったことや、微分の0点が２次式の解として得られることは驚きでした。
とういことは、幾何学的にもっと簡単な証明があるということでしょうね。

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