◆北海道 小西 さんからの解答。
△ABCの面積をS、
△AP5P4の面積をsa、
△BP3P2の面積をsb、
△CP1P6の面積をsc、
六角形P1P2P3P4P5P6の面積をS6とすると、図より
S6 = sa + sb + sc + S
は明らか。
△ABCの外接円の半径をRとすると、
公式
| S = | bc 2 |
sinA |
| sinA = | a 2R |
| sa = | (b + a)(c + a)a 4R |
| sb = | (c + b)(a + b)b 4R |
| sc = | (a + c)(b + c)c 4R |
| S6 = |
|
||||
| = |
|
| S = | abc 4R |
| S6 = | (a + b + c)(a2 + c2 + c2) abc |
S + 4S |
ゆえに、
| S6 S |
= | (a + b + c)(a2 + c2 + c2) abc |
+ 4 |
【コメント】
拙作『三角形、六角形の面積』の(3)も同じようなアプローチです。
◆富山県 Kaz さんからの解答。
先ず最初に
△ABC≡△AP1P2≡△ＢP5P6≡△ＣP3P4
（二辺夾角が等しいことより）
これらの三角形の面積をＳとする。
| Ｓ＝ | 1 2 |
bc sinA＝ | 1 2 |
ca sinB＝ | 1 2 |
ab sinC |
| ∴sinA＝ | 2S bc |
，sinB＝ | 2S ca |
，sinC＝ | 2S ab | (1) |
一方、六角形の面積をＴとすると
Ｔ＝△AP5P4＋△BP2P3＋△CP1P6−2△ABC＋△AP1P2＋△ＢP5P6＋△ＣP3P4
＝△AP5P4＋△BP2P3＋△CP1P6＋△ABC
＝△AP5P4＋△BP2P3＋△CP1P6＋S
ところで
| △AP5P4＝ | 1 2 |
(c+a)(b+a) sinA |
| △BP2P3＝ | 1 2 |
(c+b)(a+b) sinB |
| △CP1P6＝ | 1 2 |
(b+c)(a+c) sinC |
| ∴Ｔ＝ | 1 2 |
(c+a)(b+a) sinA | ＋ | 1 2 |
(c+b)(a+b) sinB | ＋ | 1 2 |
(b+c)(a+c) sinC | ＋Ｓ (2) |
(1)(2)より
| Ｔ＝ | 1 2 |
(c+a)(b+a) | 2S bc | ＋ | 1 2 |
(c+b)(a+b) | 2S ca | ＋ | 1 2 |
(b+c)(a+c) | 2S ab | ＋Ｓ |
両辺をＳで割ると
| Ｔ Ｓ | ＝ | (c+a)(b+a) bc | ＋ | (c+b)(a+b) ca | ＋ | (b+c)(a+c) ab | ＋１ |
| ＝ | a(c+a)(b+a) abc | ＋ | b(c+b)(a+b) abc | ＋ | c(b+c)(a+c) abc | ＋１ |
これを計算し
| ＝ | (a + b + c)(a2 + c2 + c2) abc |
+ 4 |
一昨日62歳の誕生日を迎えました。「老化防止に」と思いチャレンジしました。
◆出題者のコメント。
＞北海道 小西さん
私の出した解答よりエレガントな感じがしました。ありがとうございます。
私のは中学生程度でもできる解答を考えていました。
＞富山県 Ｋａｚさん
６２歳おめでとうございます。小西さんと同じく高度な解答です。
私も老化防止で問題を考えています。＾＾；
また新しい問題を作って挑戦しますね。