『実数の10進法表示』解答

◆高知県　blue さんからの解答。

【必要性】

対偶を背理法で示す。つまり
(a₁≠b₁または…またはa_k-1≠b_k-1)または(b_k≠a_k+1)または(a_i≠9またはb_i≠0 (i≧k+1))のとき
0.a₁a₂…a_k-1a_ka_k+1…＝0.b₁b₂…b_k-1b_kb_k+1…　と仮定する。

a₁＞b₁，…，a_k-1＞b_k-1，b_k＝a_k，a_i＝3，b_i＝1(i≧k+1)
(但し、「,」はかつとする)　とすれば

　0.a₁a₂…a_k-1a_ka_k+1…-0.b₁b₂…b_k-1b_kb_k+1…
＝0.(a₁-b₁)(a₂-b₂)(…)(a_k-1-b_k-1)02…
≠0

よって　0.a₁a₂…a_k-1a_ka_k+1…≠0.b₁b₂…b_k-1b_kb_k+1…（矛盾）

したがって対偶が成立。

【十分性】

　0.a₁a₂…a_k-1a_ka_k+1…
＝0.a₁a₂…a_k-1a_k99…（∵仮定）
＝0.a₁a₂…a_k-1a_k+0.0…0999…
(後者は小数第k+1位以下に９が並ぶ数)

ここで、小数第p位が9である数を　0.0…09[p]　と表すことにする。
　0.0…0999…
＝0.0…09[k+1]+0.0…09[k+2]+0.0…09[k+3]+・・・・・・

＝0.0…09[k+1]/(1-

1 10

)

＝	0.0…09[k] 9

＝

1 10…0

(分母は0がk個の数)

よって

　0.a₁a₂…a_k-1a_k+0.0…0999…

＝0.a1a2…ak-1ak＋

1 10…0

＝	a1a2…ak-1ak＋1 10…0

＝	a1a2…ak-1(ak＋1) 10…0

＝

b1b2…bk-1(ak+1) 10…0

（∵仮定）

＝

b1b2…bk-1bk 10…0

（∵仮定）

＝0.b₁b₂…b_k-1b_k
＝0.b₁b₂…b_k-1b_k0…　　　　　　　
＝0.b₁b₂…b_k-1b_kb_k+1…　　　　（∵仮定）

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