◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
まず、[要素数]２の[連素和]で表される数は奇数であり、また、任意の奇数は[要素数]２の[連素和]で表されることは明白である。
そこで、素数でない奇数が、[要素数]３以上の[連素和]で表されることを証明すればよい。
今、Ａが素数でない奇数とすると、Ａは１でない２つの奇数の積の形に書ける。
つまり、Ａ＝(２ｍ＋１)(２ｎ＋１) (ｍ,ｎ は自然数、ｍ≦ｎとする)
このとき、Ａは ２ｎ＋１を中央値とする ２ｍ＋１ 個の[連続数]
[2n-m+1,・・・・,2n,2n+1,2n+2,・・・・,2n+m+1]の[連素和]となる。
従って、［要素数」が２の［連素和］だけで表せる数は素数である。
証明終
何を証明すれば良いかを判断するのがややこしいです。
２の累乗の数（１，２，４，８，１６，３２・・・）は、[連素和]にならないですね。
【コメント】
問題がかなりややこしいので（２１の例がなければ、私は理解できませんでした）、方針がはっきりしなかったのですが、この証明の方針は
有効だと思います。
[連素和]にならない数には、どんな条件があるのでしょうか。
◆福井県の高校生 Daisuke さんからの解答。
n+1を任意の奇数とした場合、
”(n+1-1)≡0(mod 2)”により”m=n/2”
という式が成り立ち、
生成される数[m,m+1]がnに対する要素数であることを以下に証明する。
証明A:すべての偶数[n]に対し”n=m+m”となる整数mがある。
すべての偶数[n]に対し”n=m+m”となる整数mがあると仮定する。
[n]を任意の偶数とした時、
n≡0(mod 2) m=n/2
が成り立つのは明らかである。
なぜなら偶数[n]は”n=2k (kは整数)”で表わせるからだ。
任意の偶数で成り立つということは、すべての偶数に当てはまるということなので、
どんな偶数ｎにも”n=m+m”が成り立つ整数mが存在することがわかる。
Q.E.D.
あとは説明するまでも無いと思うのでみなさん上の証明を拡張して奇数に当てはめてみてください。
ヒント：
1行目を見よう！
奇数は[n+1]と定義したのに、右の式中ではどうなっているかな？
以上の事より
どんな奇数[n]にもなりたつ要素[m,m+1]があることが分かります。
さらに拡張していくと、下記の式[n/prime]のことも証明できます。
（以下の式はすべて整数で割りきれた時にのみ成立すると思ってください。
ただし、n=primeのときは割りきれるが要素がマイナスに食い込むので不適としてください。）
n/3=m [m-1,m,m+1]
n/5=m [m-2,m-1,m,m+1,m+2]
n/7=m [m-3,m-2,m-1,m,m+1,m+2,m+3]
:
n/素数=m [m-(素数-1)/2,m-(素数-1)/2+1,･･m,･･､m+(素数-1)/2]
:
つまり、任意の奇数が合成数なら素因数があるということなので、
素因数≡0(mod n)
が成り立ち、要素数が２以上の連素和ができてしまうので、
任意の奇数[n]が素数の場合のみ、任意の数を［連素和］で表そうとするとき、
［要素数」が２の［連素和］だけでしか表わせない。
ちなみに偶数はハナから問題外です。
（たぶんみんな分かると思うので、はぶきました）