◆東京都 かえる さんからの解答
| 線分の長さを１とし、切断点を０≦ｘ≦ｙ≦１（この領域の面積は | １ ２ | ）とする。 |
まず、三角形ができる条件は、
（ｙ−ｘ）＋（１−ｙ）＞ｘ
かつ
（１−ｙ）＋ｘ＞ｙ−ｘ
かつ
ｘ＋（ｙ−ｘ）＞１−ｙ
⇔
| １ ２ |
＜ｙ＜ｘ＋ | １ ２ | かつ ｘ＜ | １ ２ |
| この領域の面積は、 | １ ８ |
| （よって、三角形ができる確率は、 | １ ８ | ／ | １ ２ | ＝ | １ ４ | ） |
鋭角三角形になる条件は、
（ｙ−ｘ）2＋（１−ｙ）2＞ｘ2
かつ
（１−ｙ）2＋ｘ2＞（ｙ−ｘ）2
かつ
ｘ2＋（ｙ−ｘ）2＞（１−ｙ）2
⇔
２ｙ2−２ｘｙ−２ｙ＋１＞０
かつ
２ｘｙ−２ｙ＋１＞０
かつ
２ｘ2−２ｘｙ＋２ｙ−１＞０
| この領域の面積は、 | ３ ２ | ｌｏｇ２−１ |
三角形ができたとき、鋭角三角形となる確率は、
| （ | ３ ２ | ｌｏｇ２−１）／ | １ ８ |
（ｅ＞２．７を用いて評価するとすれば以下の通り）
| １２ｌｏｇ２−８＞＝＜ | １ ２ |
| ｌｏｇ２＞＝＜ | １７ ２４ |
２＞＝＜ｅ17/24
⇔
１６７７７２１６＝２24＞＝＜ｅ17
ここでｅ17＞２．７17＝２１５３６９４０．・・・より
| ２24＜ｅ17⇔ １２ｌｏｇ２−８＜ | １ ２ |
よって鈍角三角形となる確率の方が大きい・・・【答】